Calcule as seguintes antiderivadas:
f. integral x^3 raiz1+x^2 d x

Passo 1

Beleza, vamos calcular a antiderivada da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o método de substituição na integração, que facilita resolver integrais complicadas transformando a variável de integração. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma nova variável, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para u = 1 + x^2 , parece uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
Isso significa que a raiz fica mais fácil de lidar, porque agora temos .

Passo 3

Agora, precisamos derivar dudx = 2x Rightarrow du = 2x , dx em relação a x , dx = du2 para encontrar :
Vamos isolar :
Isso vai nos ajudar a substituir na integral original.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando nossas substituições. A integral é:
integral x^3 raiz1+x^2 , dx
Sabemos que integral x^3 raiz1+x^2 , dx = integral (u - 1) raizu cdot du2 e 12 integral (u - 1) u^1/2 , du . Além disso, . Substituindo tudo, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
(u - 1) u^1/2 = u^3/2 - u^1/2
Então, a integral fica:
12 integral ( u^3/2 - u^1/2 ) , du

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral u^3/2 , du = 25 u^5/2 + C integral u^1/2 , du = 23 u^3/2 + C
Aplicando isso na nossa integral:
12 ( 25 u^5/2 - 23 u^3/2 ) + C
Simplificando os coeficientes:
15 u^5/2 - 13 u^3/2 + C

Passo 7

Por fim, vamos voltar para a variável original 15 (1 + x^2)^5/2 - 13 (1 + x^2)^3/2 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A antiderivada de integral x^3 raiz1+x^2 , dx = 15 (1 + x^2)^5/2 - 13 (1 + x^2)^3/2 + C é:

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