Calcule as seguintes antiderivadas:
f.

Passo 1

Beleza, vamos calcular a antiderivada da função . O conteúdo que vamos usar aqui é o método de substituição na integração, que facilita resolver integrais complicadas transformando a variável de integração. Vamos precisar identificar uma parte da função para substituir por uma nova variável, o que vai simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos escolher uma substituição que torne a integral mais simples. Olhando para , parece uma boa candidata para substituição. Vamos definir:
Isso significa que a raiz fica mais fácil de lidar, porque agora temos .

Passo 3

Agora, precisamos derivar em relação a para encontrar :
Vamos isolar :
Isso vai nos ajudar a substituir na integral original.

Passo 4

Vamos reescrever a integral original usando nossas substituições. A integral é:
Sabemos que e . Além disso, . Substituindo tudo, temos:
Simplificando:

Passo 5

Agora, vamos multiplicar os termos dentro da integral:
Então, a integral fica:

Passo 6

Vamos integrar cada termo separadamente:
Aplicando isso na nossa integral:
Simplificando os coeficientes:

Passo 7

Por fim, vamos voltar para a variável original . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A antiderivada de é:

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b. .
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d. .
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c. .