Encontre os valores máximo e mínimo absolutos de f no intervalo dado. f(x) = x - ln(x), [1/2, 2]

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar os valores máximo e mínimo absolutos da função no intervalo . Para isso, vamos usar cálculo, especialmente o estudo de derivadas para encontrar os pontos críticos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada da função . A derivada nos ajuda a entender onde a função está crescendo ou decrescendo, e os pontos onde a derivada é zero ou não existe podem ser pontos onde a função atinge máximos ou mínimos.
A derivada de é:

Passo 3

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde ou onde a derivada não existe. Nesse caso, a derivada existe para todo , então só precisamos resolver :
Então, é nosso ponto crítico dentro do intervalo .

Passo 4

Agora, vamos avaliar a função nos pontos críticos e nas extremidades do intervalo para encontrar os valores máximo e mínimo.
  • Em :
  • Em :
  • Em :

Passo 5

Comparando os valores obtidos:
O maior valor é aproximadamente 1,307 em , e o menor valor é 1 em .

Resposta

O valor máximo absoluto de no intervalo é aproximadamente 1,307 em , e o valor mínimo absoluto é 1 em .

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