Calcule as seguintes antiderivadas:
c. integral(ln u)^2 d u.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu pra calcular a antiderivada de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da expressão vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será u = (ln u)^2 e dv = du e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar.
Neste caso, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = ddu [(ln u)^2] , du = 2 ln u cdot 1u , du = 2 ln uu , du e integrar v = integral dv = integral du = u :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
integral (ln u)^2 , du = u cdot (ln u)^2 - integral u cdot 2 ln uu , du
Simplificando a integral restante:
= u (ln u)^2 - 2 integral ln u , du

Passo 5

Agora, precisamos calcular u1 = ln u e dv1 = du . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.
Definimos:
du1 = 1u , du e v1 = u
Então:
integral ln u , du = u ln u - integral u cdot 1u , du = u ln u - integral 1 , du = u ln u - u + C
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
integral (ln u)^2 , du = u (ln u)^2 - 2 (u ln u - u) + C
Distribuindo o = u (ln u)^2 - 2u ln u + 2u + C :

Resposta

A antiderivada de integral (ln u)^2 , du = u (ln u)^2 - 2u ln u + 2u + C é:
onde é a constante de integração.

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