Calcule as seguintes antiderivadas:
c. .

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você pediu pra calcular a antiderivada de em relação a . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, mais especificamente usando o método de integração por partes. Para resolver, vamos precisar identificar quais partes da expressão vamos chamar de e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
Precisamos escolher qual parte da nossa integral será e qual será . Geralmente, escolhemos como a parte que simplifica ao derivar.
Neste caso, vamos definir:

Passo 3

Agora, vamos derivar e integrar :

Passo 4

Aplicando a fórmula da integração por partes:
Simplificando a integral restante:

Passo 5

Agora, precisamos calcular . Vamos aplicar novamente a integração por partes para essa integral.
Definimos:
Então:
Aplicando a fórmula:

Passo 6

Voltando à nossa expressão anterior:
Distribuindo o :

Resposta

A antiderivada de é:
onde é a constante de integração.

Exercícios relacionados

Obtenha uma primitiva para a função que satisfaça a condição .
Utilize um método adequado para calcular a integral definida.
Provai as relações abaixo.
c) .
Determine uma função tal que e .