Obtenha uma primitiva g para a função f(x) = raiz(x) - x que satisfaça a condição g(1) = 2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar uma primitiva da função que satisfaça . Isso significa que precisamos encontrar uma antiderivada de e depois usar a condição dada para determinar a constante de integração. Vamos usar noções básicas de cálculo integral para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primitiva de . Sabemos que é o mesmo que . A regra para integrar potências de é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente. Então:

Passo 3

Agora, vamos integrar a parte da função. A integral de é bem direta:

Passo 4

Juntando as duas primitivas que encontramos, temos que a primitiva geral de é:
Onde é a constante de integração que precisamos determinar usando a condição .

Passo 5

Vamos substituir e na expressão da primitiva para encontrar :
Para resolver isso, vamos calcular :
Então:

Resposta

A primitiva que satisfaz é:

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