Utilize um método adequado para calcular a integral definida.
integral2^3 dxx^2(x-1)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . A matéria envolvida aqui é cálculo de integrais, especificamente usando frações parciais pra simplificar a expressão. Vamos precisar decompor a fração em termos mais simples pra integrar facilmente.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a decomposição em frações parciais da expressão . Isso significa que queremos escrever essa fração como a soma de frações mais simples.

Passo 3

Assumimos que:
1x^2(x-1) = Ax + Bx^2 + Cx-1
Agora, vamos encontrar os valores de , e .

Passo 4

Multiplicando ambos os lados por 1 = A cdot x(x-1) + B cdot (x-1) + C cdot x^2 para eliminar os denominadores:
1 = A x^2 - A x + B x - B + C x^2
Expandindo:
1 = (A + C) x^2 + (-A + B) x - B
Agrupando os termos semelhantes:

Passo 5

Agora, igualamos os coeficientes dos termos de mesmo grau:
A + C = 0 -A + B = 0 -B = 1
Resolvendo:
  • Da terceira equação:
  • Da segunda equação:
  • Da primeira equação:

Passo 6

Então, a decomposição fica:
1x^2(x-1) = -1x + -1x^2 + 1x-1
Agora, podemos reescrever a integral:
integral2^3 ( -1x + -1x^2 + 1x-1 ) dx

Passo 7

Vamos integrar cada termo separadamente:
integral -1x , dx = -ln|x|
integral -1x^2 , dx = 1x
integral 1x-1 , dx = ln|x-1|
Então, a integral completa é:
- ln|x| + 1x + ln|x-1| |2^3

Resposta

Calculando nos limites de 2 a 3:
( -ln3 + 13 + ln2 ) - ( -ln2 + 12 + ln1 )
Simplificando ( - ln3 + 13 + ln2 + ln2 - 12 ):
= -ln3 + 2ln2 + ( 13 - 12 )
= -ln3 + 2ln2 - 16
2ln2 - ln3 - 16
Portanto, o valor final da integral é:

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