Determine uma função
tal que
e
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma função
que satisfaça a equação diferencial
e que também satisfaça a condição inicial
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem.
Passo 2
Vamos começar rearranjando a equação para isolarmos
. Dividimos ambos os lados da equação por
(assumindo que
):
Agora a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
onde
(já que não há termo com
) e
.
Passo 3
Como a equação está simplificada para
, podemos integrar ambos os lados em relação a
para encontrar
:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Vamos resolver a integral
usando integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes
:
Passo 5
Agora, vamos resolver a segunda integral
:
Assim, juntando as duas partes, temos:
Passo 6
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor da constante
. Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Isolando
:
Resposta
A função que satisfaz a equação dada e a condição inicial é
Exercícios relacionados
Provai as relações abaixo.
c) .
c)
Calcule as seguintes antiderivadas:
c. .
c.
Sendo
e
pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
e) e
.
e)
Calcule as seguintes antiderivadas:
e. .
e.