Determine uma função tal que e .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos encontrar uma função que satisfaça a equação diferencial
e que também satisfaça a condição inicial . Para resolver isso, vamos usar técnicas de resolução de equações diferenciais de primeira ordem.

Passo 2

Vamos começar rearranjando a equação para isolarmos . Dividimos ambos os lados da equação por (assumindo que ):
Agora a equação está na forma padrão de uma equação diferencial linear:
onde (já que não há termo com ) e .

Passo 3

Como a equação está simplificada para , podemos integrar ambos os lados em relação a para encontrar :
onde é a constante de integração.

Passo 4

Vamos resolver a integral usando integração por partes. Escolhemos:
Aplicando a fórmula de integração por partes :

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral :
Assim, juntando as duas partes, temos:

Passo 6

Agora, usamos a condição inicial para encontrar o valor da constante . Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Isolando :

Resposta

A função que satisfaz a equação dada e a condição inicial é

Exercícios relacionados

Provai as relações abaixo.
c) .
Calcule as seguintes antiderivadas:
c. .
Sendo e pontos no espaço, determinai a distância entre eles.
e) e .
Calcule as seguintes antiderivadas:
e. .