Calcule as seguintes antiderivadas:
d. integral ln zraizz d z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral . Esse exercício está na área de Cálculo Integral, mais especificamente lidando com antiderivadas. Para resolver isso, vamos precisar usar a técnica de integração por partes, que é super útil quando temos um produto de funções, como nesse caso onde temos e .

Passo 2

Primeiro, lembremos da fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos identificar qual parte da nossa integral será u = ln z e dv = 1raizz , dz e qual será . Geralmente, escolhemos como a função que se simplifica ao derivar. Então, vamos deixar:

Passo 3

Agora, vamos derivar du = 1z , dz e integrar v = integral 1raizz , dz = integral z^-1/2 , dz = 2raizz para encontrar e :

Passo 4

Substituindo integral ln zraizz , dz = uv - integral v , du = ln z cdot 2raizz - integral 2raizz cdot 1z , dz , 2ln z cdot raizz - 2 integral z^-1/2 , dz , e na fórmula de integração por partes:
Simplificando a segunda integral:

Passo 5

Agora, vamos resolver a segunda integral:
integral z^-1/2 , dz = 2raizz
Multiplicando pelo 2:
2 times 2raizz = 4raizz
Então, nossa expressão fica:
2raizz ln z - 4raizz + C
onde é a constante de integração.

Resposta

A antiderivada é
2, raizz cdot ln z - 4, raizz + C

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