Uma partícula se desloca sobre o eixo x com uma função posição x = x(t). Determine x = x(t) sabendo que:
d^2x/dt^2 = cos(3t) e v(0) = 1 e x(0) = 0

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo do eixo x e a posição dela depende do tempo, ou seja, . O que a gente sabe é a aceleração dessa partícula, que está dada por , e também temos as condições iniciais: a velocidade no tempo t = 0 é e a posição no tempo t = 0 é . Nosso objetivo aqui é encontrar a função posição x(t) usando esses dados. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração, já que aceleração é a segunda derivada da posição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, se a aceleração é , para encontrar a velocidade v(t), precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Matematicamente:

Passo 3

Vamos integrar :
Aqui, C é a constante de integração. Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar C. Sabemos que , então:
Portanto, a função da velocidade fica:

Passo 4

Agora que temos a expressão para a velocidade, podemos encontrar a posição x(t) integrando a velocidade em relação ao tempo:

Passo 5

Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo:
onde é a constante de integração. Usamos a condição inicial para encontrar C:
Assim, a função posição fica:
Podemos simplificar isso unindo os termos constantes:

Resposta

A posição da partícula em função do tempo é:

Exercícios relacionados