Uma partícula se desloca sobre o eixo
com uma função posição
. Determine
sabendo que:
e
e
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem uma partícula que se move ao longo do eixo
e a posição dela depende do tempo, ou seja,
. O que a gente sabe é a aceleração dessa partícula, que está dada por
, e também temos as condições iniciais: a velocidade no tempo
é
e a posição no tempo
é
. Nosso objetivo aqui é encontrar a função posição
usando esses dados. Para isso, vamos precisar usar um pouco de cálculo, especificamente integração, já que aceleração é a segunda derivada da posição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Então, se a aceleração é
, para encontrar a velocidade
, precisamos integrar a aceleração em relação ao tempo.
Matematicamente:
Passo 3
Vamos integrar
:
Aqui,
é a constante de integração. Agora, usamos a condição inicial da velocidade para encontrar
. Sabemos que
, então:
Portanto, a função da velocidade fica:
Passo 4
Agora que temos a expressão para a velocidade, podemos encontrar a posição
integrando a velocidade em relação ao tempo:
Passo 5
Vamos integrar cada termo separadamente:
Juntando tudo:
onde
é a constante de integração. Usamos a condição inicial
para encontrar
:
Assim, a função posição fica:
Podemos simplificar isso unindo os termos constantes:
Resposta
A posição da partícula em função do tempo é: