Calcule nos seguintes casos:
(b) e
Passo 1
Vamos entender o que o problema está pedindo: precisamos calcular a derivada de em relação a , onde , com e . Para resolver isso, vamos usar a **regra da cadeia** do cálculo, que nos ajuda a derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que depende de e , e ambos e dependem de . Isso significa que para achar , precisamos considerar como muda quando e mudam com .
Passo 3
Aplicando a **regra da cadeia**, a derivada de em relação a é:
Aqui, e são as derivadas parciais de em relação a e , respectivamente, e e são as derivadas de e em relação a .
Passo 4
Vamos calcular cada uma dessas derivadas:
1. **Derivadas parciais de :**
2. **Derivadas de e em relação a :**
Passo 5
Agora, substituímos essas derivadas na fórmula da regra da cadeia:
Resposta
Substituindo e na expressão acima, temos:
Exercícios relacionados
Considere as funções e , definidas por:
Use o Teorema Fundamental do Cálculo e a Regra da Cadeia e calcule as derivadas e .
As dimensões de uma caixa retangular são e , com possível de em cada dimensão. Calcule o valor aproximado do volume da caixa e o possível erro.
Calcule nos seguintes casos:
(d) e
Considere duas funções reais e e sejam e . Admitindo a existência das derivadas envolvidas, deduza que