Calcule as seguintes derivadas:
(b)
(b)
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a segunda derivada da função
no ponto
. Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do quociente.
Passo 2
Vamos encontrar a primeira derivada de
.
-
Derivada de
: - Usamos a regra da cadeia. A derivada de
é , onde . - Então,
. - Multiplicando por 4:
.
- Usamos a regra da cadeia. A derivada de
-
Derivada de
: - Usamos a regra do quociente ou a regra da potência.
.
- Usamos a regra do quociente ou a regra da potência.
Então, a primeira derivada é:
Passo 3
Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada de
.
-
Derivada de
: - Aplicamos a regra do produto:
, onde e . -
. -
. - Então,
.
- Aplicamos a regra do produto:
-
Derivada de
: - Usamos a regra da potência:
.
- Usamos a regra da potência:
Então, a segunda derivada é:
Passo 4
Finalmente, vamos avaliar a segunda derivada no ponto
.
Substituindo
na expressão de
:
Simplificando:
Sabemos que
e
:
Resposta
A segunda derivada no ponto
é: