Calcule as seguintes derivadas:
(b) d²/dx²[4 sen(pi x²) - 1/x]_{x=1}

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Precisamos calcular a segunda derivada da função no ponto . Para isso, vamos usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a regra do quociente.

Passo 2

Vamos encontrar a primeira derivada de .
  1. Derivada de :
    • Usamos a regra da cadeia. A derivada de é , onde .
    • Então, .
    • Multiplicando por 4: .
  2. Derivada de :
    • Usamos a regra do quociente ou a regra da potência. .
Então, a primeira derivada é:

Passo 3

Agora, vamos calcular a segunda derivada, que é a derivada de .
  1. Derivada de :
    • Aplicamos a regra do produto: , onde e .
    • .
    • .
    • Então, .
  2. Derivada de :
    • Usamos a regra da potência: .
Então, a segunda derivada é:

Passo 4

Finalmente, vamos avaliar a segunda derivada no ponto .
Substituindo na expressão de :
Simplificando:
Sabemos que e :

Resposta

A segunda derivada no ponto é:

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