Uma empresa produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de . Estimase que o custo total para produzir e vender unidades desse produto é (em reais). Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, qual a quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo ? Lembrar que lucro é igual à receita menos o custo. Justifique o porquê de a quantidade encontrada representar o lucro máximo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A empresa quer saber quantas unidades do produto ela deve produzir para lucrar o máximo possível. Aqui estamos lidando com conceitos de função de custo, função de receita e lucro, que é a diferença entre receita e custo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde o lucro é máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as funções que temos:
  • Preço de venda por unidade: R$ 13,00
  • Custo total para produzir q unidades:
A receita total ® é o preço por unidade multiplicado pela quantidade vendida:

Passo 3

O lucro (L) é a diferença entre a receita total e o custo total:
Substituindo as expressões que temos:
Vamos simplificar essa expressão:

Passo 4

Para encontrar o lucro máximo, precisamos encontrar o valor de q que torna a função lucro máxima. Para isso, vamos usar a derivada da função lucro em relação a q e igualar a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do lucro em relação à quantidade produzida.
Calculando a derivada de :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Como quantidade não pode ser negativa, descartamos .

Passo 6

Agora, precisamos verificar se realmente corresponde a um lucro máximo. Para isso, vamos analisar a segunda derivada da função lucro.
Calculando a segunda derivada de :
Substituindo :
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que a função lucro tem um ponto de máximo em .

Resposta

A quantidade que deve ser produzida para obter o lucro máximo é 3 unidades.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes derivadas:
(b)
Sobre a função :
© Esboçar o gráfico da função (utilizando as informações obtidas acima, utilizando inclusive os pontos do gráfico com abscissas dadas pelos pontos encontrados).
Usando os conhecimentos aprendidos no curso, encontre uma aproximação linear para
(a) 0,96
(b) 0,97
© 0,98
(d) 0,99
Calcule as seguintes derivadas:
(a)