Uma empresa produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de R . Estimase que o custo total Estimase que o custo total para produzir e vender para produzir e vender unidades desse produto é unidades desse produto é (em reais). Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, qual a quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo ? Lembrar que lucro é igual à receita menos o custo. Justifique o porquê de a quantidade (em reais) Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, qual a quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo ? Lembrar que lucro é igual à receita menos o custo Justifique o porquê de a quantidade encontrada representar o lucro máximo.

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A empresa quer saber quantas unidades do produto ela deve produzir para lucrar o máximo possível. Aqui estamos lidando com conceitos de função de custo, função de receita e lucro, que é a diferença entre receita e custo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde o lucro é máximo.

Passo 2

Primeiro, vamos definir as funções que temos:
  • Preço de venda por unidade: R$ 13,00
  • Custo total para produzir q unidades: R(q) = 13q
A receita total ® é o preço por unidade multiplicado pela quantidade vendida:

Passo 3

O lucro (L) é a diferença entre a receita total e o custo total:
L(q) = R(q) - C(q)
Substituindo as expressões que temos:
L(q) = 13q - (q^3 - 3q^2 + 4q + 2)
Vamos simplificar essa expressão:
L(q) = 13q - q^3 + 3q^2 - 4q - 2
L(q) = -q^3 + 3q^2 + 9q - 2

Passo 4

Para encontrar o lucro máximo, precisamos encontrar o valor de q que torna a função lucro L'(q) = ddq(-q^3 + 3q^2 + 9q - 2) máxima. Para isso, vamos usar a derivada da função lucro em relação a q e igualar a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do lucro em relação à quantidade produzida.
Calculando a derivada de L'(q) = -3q^2 + 6q + 9 :

Passo 5

Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
-3q^2 + 6q + 9 = 0
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:
q^2 - 2q - 3 = 0
Resolvendo a equação quadrática:
q = 2 pm raiz(-2)^2 - 4 cdot 1 cdot (-3)2 cdot 1
q = 2 pm raiz4 + 122
q = 2 pm raiz162
q = 2 pm 42
Assim, temos duas soluções:
q = 2 + 42 = 3
q = 2 - 42 = -1
Como quantidade não pode ser negativa, descartamos .

Passo 6

Agora, precisamos verificar se L''(q) = ddq(-3q^2 + 6q + 9) realmente corresponde a um lucro máximo. Para isso, vamos analisar a segunda derivada da função lucro.
Calculando a segunda derivada de L''(q) = -6q + 6 :
L''(3) = -6(3) + 6 = -18 + 6 = -12
Substituindo :
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que a função lucro tem um ponto de máximo em .

Resposta

A quantidade que deve ser produzida para obter o lucro máximo é 3 unidades.

Exercícios relacionados