Uma empresa produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de
. Estimase que o custo total
para produzir e vender
unidades desse produto é
(em reais). Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, qual a quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo ? Lembrar que lucro é igual à receita menos o custo. Justifique o porquê de a quantidade
encontrada representar o lucro máximo.
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A empresa quer saber quantas unidades do produto ela deve produzir para lucrar o máximo possível. Aqui estamos lidando com conceitos de função de custo, função de receita e lucro, que é a diferença entre receita e custo. Para resolver isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente derivadas, para encontrar o ponto onde o lucro é máximo.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as funções que temos:
- Preço de venda por unidade: R$ 13,00
- Custo total para produzir q unidades:
A receita total ® é o preço por unidade multiplicado pela quantidade vendida:
Passo 3
O lucro (L) é a diferença entre a receita total e o custo total:
Substituindo as expressões que temos:
Vamos simplificar essa expressão:
Passo 4
Para encontrar o lucro máximo, precisamos encontrar o valor de q que torna a função lucro
máxima. Para isso, vamos usar a derivada da função lucro em relação a q e igualar a zero. A derivada nos dá a taxa de variação do lucro em relação à quantidade produzida.
Calculando a derivada de
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é igual a zero:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por -3:
Resolvendo a equação quadrática:
Assim, temos duas soluções:
Como quantidade não pode ser negativa, descartamos
.
Passo 6
Agora, precisamos verificar se
realmente corresponde a um lucro máximo. Para isso, vamos analisar a segunda derivada da função lucro.
Calculando a segunda derivada de
:
Substituindo
:
Como a segunda derivada é negativa, isso indica que a função lucro tem um ponto de máximo em
.
Resposta
A quantidade que deve ser produzida para obter o lucro máximo é 3 unidades.