Sobre a função
:
© Esboçar o gráfico da função (utilizando as informações obtidas acima, utilizando inclusive os pontos do gráfico com abscissas dadas pelos pontos encontrados).
© Esboçar o gráfico da função (utilizando as informações obtidas acima, utilizando inclusive os pontos do gráfico com abscissas dadas pelos pontos encontrados).
Passo 1
Beleza, vamos desenhar o gráfico da função
. Para isso, precisamos usar informações como interceptos, pontos de máximo e mínimo, e pontos de inflexão que já encontramos antes. Vamos usar isso tudo para montar o esqueleto do gráfico.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar os interceptos do gráfico. O intercepto com o eixo y é fácil, basta calcular
:
Então, o gráfico passa pelo ponto
.
Para os interceptos com o eixo x, já sabemos que resolvemos
:
Supondo que já encontramos as raízes, por exemplo,
e
, então os interceptos com o eixo x são
e
.
Passo 3
Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Calculamos a primeira derivada
para isso:
Igualando a zero:
Calculando
e
:
Então, temos um ponto de mínimo em
e um ponto de máximo em
.
Passo 4
Vamos também verificar os pontos de inflexão calculando a segunda derivada
:
Igualando a zero:
Calculando
:
Então, há um ponto de inflexão em
.
Passo 5
Com todas essas informações, podemos agora desenhar o gráfico:
- O gráfico passa pelos pontos
, , e . - Tem um máximo em
e um mínimo em . - O ponto de inflexão está em
. - Como o grau do polinômio é 3 e o coeficiente líder é positivo, o gráfico vai do canto inferior esquerdo para o canto superior direito.
Resposta
O gráfico da função
passa pelos pontos
,
,
e
, exibindo um máximo local em
, um mínimo local em
e um ponto de inflexão em
. A curva sobe de
, desce até
e sobe novamente para
.
Exercícios relacionados
Sobre a função
:
(a) Encontrar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos de máximo e mínimo locais.
(a) Encontrar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos de máximo e mínimo locais.
Sobre a função
:
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
Calcule as seguintes derivadas:
(b)
(b)
Uma empresa produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de
. Estimase que o custo total
para produzir e vender
unidades desse produto é
(em reais). Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, qual a quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo ? Lembrar que lucro é igual à receita menos o custo. Justifique o porquê de a quantidade
encontrada representar o lucro máximo.