Sobre a função :
© Esboçar o gráfico da função (utilizando as informações obtidas acima, utilizando inclusive os pontos do gráfico com abscissas dadas pelos pontos encontrados).

Passo 1

Beleza, vamos desenhar o gráfico da função . Para isso, precisamos usar informações como interceptos, pontos de máximo e mínimo, e pontos de inflexão que já encontramos antes. Vamos usar isso tudo para montar o esqueleto do gráfico.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar os interceptos do gráfico. O intercepto com o eixo y é fácil, basta calcular :
Então, o gráfico passa pelo ponto .
Para os interceptos com o eixo x, já sabemos que resolvemos :
Supondo que já encontramos as raízes, por exemplo, e , então os interceptos com o eixo x são e .

Passo 3

Agora, vamos identificar os pontos de máximo e mínimo. Calculamos a primeira derivada para isso:
Igualando a zero:
Calculando e :
Então, temos um ponto de mínimo em e um ponto de máximo em .

Passo 4

Vamos também verificar os pontos de inflexão calculando a segunda derivada :
Igualando a zero:
Calculando :
Então, há um ponto de inflexão em .

Passo 5

Com todas essas informações, podemos agora desenhar o gráfico:
  • O gráfico passa pelos pontos , , e .
  • Tem um máximo em e um mínimo em .
  • O ponto de inflexão está em .
  • Como o grau do polinômio é 3 e o coeficiente líder é positivo, o gráfico vai do canto inferior esquerdo para o canto superior direito.

Resposta

O gráfico da função passa pelos pontos , , e , exibindo um máximo local em , um mínimo local em e um ponto de inflexão em . A curva sobe de , desce até e sobe novamente para .

Exercícios relacionados

Sobre a função :
(a) Encontrar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos de máximo e mínimo locais.
Sobre a função :
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
Calcule as seguintes derivadas:
(b)
Uma empresa produz determinado produto e vende-o a um preço unitário de . Estimase que o custo total para produzir e vender unidades desse produto é (em reais). Supondo que toda a produção seja absorvida pelo mercado consumidor, qual a quantidade deverá ser produzida para se ter lucro máximo ? Lembrar que lucro é igual à receita menos o custo. Justifique o porquê de a quantidade encontrada representar o lucro máximo.