Sobre a função
:
(a) Encontrar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos de máximo e mínimo locais.
(a) Encontrar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos de máximo e mínimo locais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
. O que a gente precisa fazer é descobrir onde essa função está crescendo ou decrescendo, e também encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo. Além disso, nos pontos onde a derivada é zero, podemos ter máximos ou mínimos locais.
Passo 3
Então, vamos calcular a derivada de
. A derivada de
é
, a derivada de
é
, e a derivada de 2, que é uma constante, é 0. Portanto:
Passo 4
Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de
onde a derivada é igual a zero:
Então, temos dois pontos críticos:
e
.
Passo 5
Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, podemos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.
-
Para
: - Escolhemos um valor menor que -1, por exemplo,
: - E um valor entre -1 e 1, por exemplo,
: - A derivada muda de positiva para negativa, indicando que
é um ponto de máximo local.
- Escolhemos um valor menor que -1, por exemplo,
-
Para
: - Escolhemos um valor entre -1 e 1, por exemplo,
: - E um valor maior que 1, por exemplo,
: - A derivada muda de negativa para positiva, indicando que
é um ponto de mínimo local.
- Escolhemos um valor entre -1 e 1, por exemplo,
Resposta
A função
está crescendo nos intervalos
e
, e está decrescendo no intervalo
. Além disso, possui um ponto de máximo local em
e um ponto de mínimo local em
.
Exercícios relacionados
Sobre a função
:
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
Esboçar o gráfico das seguintes funções:
f)
f)
Sobre a função
:
© Esboçar o gráfico da função (utilizando as informações obtidas acima, utilizando inclusive os pontos do gráfico com abscissas dadas pelos pontos encontrados).
© Esboçar o gráfico da função (utilizando as informações obtidas acima, utilizando inclusive os pontos do gráfico com abscissas dadas pelos pontos encontrados).
Calcule as seguintes derivadas:
(b)
(b)