Sobre a função :
(a) Encontrar intervalos de crescimento e decrescimento e pontos de máximo e mínimo locais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função . O que a gente precisa fazer é descobrir onde essa função está crescendo ou decrescendo, e também encontrar os pontos onde ela atinge valores máximos e mínimos locais. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo, especificamente derivadas, que nos ajudam a entender o comportamento da função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função nos dá a taxa de variação dela. Se a derivada for positiva em um intervalo, a função está crescendo nesse intervalo. Se for negativa, está decrescendo. Além disso, nos pontos onde a derivada é zero, podemos ter máximos ou mínimos locais.

Passo 3

Então, vamos calcular a derivada de . A derivada de é , a derivada de é , e a derivada de 2, que é uma constante, é 0. Portanto:

Passo 4

Agora, vamos encontrar os pontos críticos, ou seja, os valores de onde a derivada é igual a zero:
Então, temos dois pontos críticos: e .

Passo 5

Para determinar se esses pontos críticos são máximos, mínimos ou pontos de inflexão, podemos analisar o sinal da derivada em torno desses pontos.
  • Para :
    • Escolhemos um valor menor que -1, por exemplo, :
    • E um valor entre -1 e 1, por exemplo, :
    • A derivada muda de positiva para negativa, indicando que é um ponto de máximo local.
  • Para :
    • Escolhemos um valor entre -1 e 1, por exemplo, :
    • E um valor maior que 1, por exemplo, :
    • A derivada muda de negativa para positiva, indicando que é um ponto de mínimo local.

Resposta

A função está crescendo nos intervalos e , e está decrescendo no intervalo . Além disso, possui um ponto de máximo local em e um ponto de mínimo local em .

Exercícios relacionados

Sobre a função :
(b) Estudar a concavidade da função e pontos de inflexão.
Esboçar o gráfico das seguintes funções:
f)
Sobre a função :
© Esboçar o gráfico da função (utilizando as informações obtidas acima, utilizando inclusive os pontos do gráfico com abscissas dadas pelos pontos encontrados).
Calcule as seguintes derivadas:
(b)