Calcule as seguintes derivadas .
©
.
©
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
. A gente vai usar o conceito de derivadas, mais especificamente a regra do quociente, que é usada quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são funções de
. Também vamos precisar saber derivar funções polinomiais e aplicar a regra da cadeia para derivar funções compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função
, onde
e
são funções de
, então a derivada de
em relação a
é dada por:
Aqui,
é a derivada de
e
é a derivada de
.
Passo 3
Vamos identificar
e
na nossa função:
Agora, precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Calculando
:
Derivamos cada termo independentemente. A derivada de
é
e a derivada de uma constante é 0.
Passo 5
Calculando
:
Aqui, temos uma função composta, então vamos usar a regra da cadeia. Se
, então:
Aplicando isso:
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a regra do quociente:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão. Observe que todos os termos têm
, então podemos fatorar isso:
Simplificamos
com
resultando em
no denominador.
Passo 8
Expandindo e simplificando o numerador:
Agora, subtraindo:
Passo 9
Podemos fatorar o numerador:
Mas para simplificar, vamos manter assim mesmo.
Passo 10
Então, a derivada final fica:
Podemos também fatorar um -2 do numerador se quisermos:
Resposta
A derivada de
em relação a
é: