Calcule as seguintes derivadas .
© y = (x^2 - 3) / ((x^2 + 3x)^6).

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . A gente vai usar o conceito de derivadas, mais especificamente a regra do quociente, que é usada quando temos uma fração onde o numerador e o denominador são funções de . Também vamos precisar saber derivar funções polinomiais e aplicar a regra da cadeia para derivar funções compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a regra do quociente. Se temos uma função , onde e são funções de , então a derivada de em relação a é dada por:
Aqui, é a derivada de e é a derivada de .

Passo 3

Vamos identificar e na nossa função:
Agora, precisamos encontrar e .

Passo 4

Calculando :
Derivamos cada termo independentemente. A derivada de é e a derivada de uma constante é 0.

Passo 5

Calculando :
Aqui, temos uma função composta, então vamos usar a regra da cadeia. Se , então:
Aplicando isso:

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a regra do quociente:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão. Observe que todos os termos têm , então podemos fatorar isso:
Simplificamos com resultando em no denominador.

Passo 8

Expandindo e simplificando o numerador:
Agora, subtraindo:

Passo 9

Podemos fatorar o numerador:
Mas para simplificar, vamos manter assim mesmo.

Passo 10

Então, a derivada final fica:
Podemos também fatorar um -2 do numerador se quisermos:

Resposta

A derivada de em relação a é:

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