Calcule as seguintes derivadas .
(e) g(x)=ln(raiz((a^2 - x^2)/(a^2 + x^2))).

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas que envolvem logaritmos e funções racionais. Para resolver isso, vamos precisar das regras de derivação de logaritmos e da regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Sabemos que . Aplicando isso à nossa função:

Passo 3

Agora, vamos derivar com relação a . A derivada de é , então usando a regra da cadeia:

Passo 4

Vamos calcular a derivada de . Usamos a regra do quociente: se , então .
Aqui, e .
Calculando as derivadas:
Aplicando a regra do quociente:
Simplificando o numerador:
Então,

Passo 5

Voltando à derivada de :
Simplificando os termos:

Passo 6

Podemos simplificar ainda mais a expressão. Observe que . Então:

Resposta

A derivada da função é:

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