Calcule as seguintes derivadas f(x) = (4 - x^4)^33 / (x^3 + 2)^100

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A função que precisamos derivar é . Aqui estamos lidando com uma função que é uma fração onde o numerador e o denominador são funções elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Quociente. Ela diz que se temos uma função na forma , a derivada é . Então, vamos identificar e na nossa função.
Aqui, temos:

Passo 3

Agora, vamos precisar encontrar as derivadas de e , ou seja, e . Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra.

Passo 4

Vamos começar com . Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
  • A derivada externa é
  • A derivada interna de é
    Então,

Passo 5

Agora, vamos derivar usando a Regra da Cadeia:
  • A derivada externa é
  • A derivada interna de é
    Então,

Passo 6

Agora que temos e , vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo:

Passo 7

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que está presente em ambos os termos do numerador, assim como . Podemos fatorar esses termos:

Passo 8

Simplificando ainda mais, cancelamos no numerador com parte do denominador:

Resposta

A derivada da função é:

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