Calcule as seguintes derivadas
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A função que precisamos derivar é
. Aqui estamos lidando com uma função que é uma fração onde o numerador e o denominador são funções elevadas a potências. Para resolver isso, vamos precisar usar a Regra do Quociente e a Regra da Cadeia.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a Regra do Quociente. Ela diz que se temos uma função na forma
, a derivada é
. Então, vamos identificar
e
na nossa função.
Aqui, temos:
Passo 3
Agora, vamos precisar encontrar as derivadas de
e
, ou seja,
e
. Para isso, vamos usar a Regra da Cadeia, que é útil quando temos uma função composta, ou seja, uma função dentro de outra.
Passo 4
Vamos começar com
. Aplicando a Regra da Cadeia, temos:
- A derivada externa é
- A derivada interna de
é
Então,
Passo 5
Agora, vamos derivar
usando a Regra da Cadeia:
- A derivada externa é
- A derivada interna de
é
Então,
Passo 6
Agora que temos
e
, vamos aplicar a Regra do Quociente:
Substituindo:
Passo 7
Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, observe que
está presente em ambos os termos do numerador, assim como
. Podemos fatorar esses termos:
Passo 8
Simplificando ainda mais, cancelamos
no numerador com parte do denominador:
Resposta
A derivada da função é: