Calcule as seguintes derivadas f(x) = ln(e^(2 x) + sen(x) + 3 x)

Passo 1

Beleza, vamos calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é fundamental para derivar funções compostas, e também as derivadas básicas de funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar o que exatamente estamos derivando. Temos uma função logarítmica natural , onde . A regra da cadeia nos diz que a derivada de em relação a é vezes a derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Vamos derivar termo por termo:
  • A derivada de é . Isso porque a derivada de é , onde é uma constante.
  • A derivada de é .
  • A derivada de é , já que a derivada de é .

Passo 4

Agora, juntando tudo, a derivada de em relação a é:

Passo 5

Aplicando a regra da cadeia, a derivada de é:

Resposta

A derivada de é:

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