Calcule as seguintes derivadas
Passo 1
Beleza, vamos calcular a derivada da função
. Aqui, estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas. Para resolver isso, vamos precisar usar a regra da cadeia, que é fundamental para derivar funções compostas, e também as derivadas básicas de funções exponenciais, trigonométricas e polinomiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar o que exatamente estamos derivando. Temos uma função logarítmica natural
, onde
. A regra da cadeia nos diz que a derivada de
em relação a
é
vezes a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Vamos derivar termo por termo:
- A derivada de
é . Isso porque a derivada de é , onde é uma constante. - A derivada de
é . - A derivada de
é , já que a derivada de é .
Passo 4
Agora, juntando tudo, a derivada de
em relação a
é:
Passo 5
Aplicando a regra da cadeia, a derivada de
é:
Resposta
A derivada de
é: