Calcule as seguintes derivadas f(x) = ((3 x^5 + 4)^33) / (x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa derivada juntos! A questão pede para calcular a derivada da função . Aqui, vamos usar regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Precisamos lembrar como derivar potências e funções compostas para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação. Podemos escrever como:
Isso nos ajuda a aplicar a regra do produto em vez da regra do quociente, o que simplifica um pouco as contas.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a regra do produto, que diz que a derivada de é . Neste caso, e .

Passo 4

Vamos derivar . Para isso, usamos a regra da cadeia. A derivada de é:
Aqui, derivamos a parte externa trazendo o expoente para frente e diminuindo ele em 1, e multiplicamos pela derivada da parte interna , que é .

Passo 5

Agora, vamos derivar . A derivada de é:
Isso segue a regra de derivar potências, multiplicando o expoente pela variável elevada ao expoente menos um.

Passo 6

Aplicando a regra do produto, substituímos e na fórmula:

Passo 7

Vamos simplificar os termos:
Aqui, multiplicamos 33 por 15 para obter 495 e simplificamos .

Passo 8

Podemos fatorar para simplificar ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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