Calcule as seguintes derivadas: f(x) = (2 x^3 + 5) / (4 x^2 + 7)

Passo 1

Então, temos a função e precisamos calcular a sua derivada. Vamos usar o conteúdo de derivadas de funções racionais, especificamente a regra do quociente, que nos ajuda a derivar expressões onde uma função está dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso, temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente. Usamos a regra básica de derivação para polinômios:
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente para derivar . A regra diz que:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos cada termo:
Agora, montamos o numerador:

Passo 6

Assim, a derivada fica:

Resposta

A derivada de é:

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