Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Então, temos a função e precisamos calcular a sua derivada. Vamos usar o conteúdo de derivadas de funções racionais, especificamente a regra do quociente, que nos ajuda a derivar expressões onde uma função está dividida por outra.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso, temos:
  • Numerador:
  • Denominador:

Passo 3

Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente. Usamos a regra básica de derivação para polinômios:
  • Derivada de :
  • Derivada de :

Passo 4

Agora, aplicamos a regra do quociente para derivar . A regra diz que:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 5

Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos cada termo:
Agora, montamos o numerador:

Passo 6

Assim, a derivada fica:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
Calcule as seguintes derivadas:
Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se a série converge em , então ela converge em .