Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Então, temos a função
e precisamos calcular a sua derivada. Vamos usar o conteúdo de derivadas de funções racionais, especificamente a regra do quociente, que nos ajuda a derivar expressões onde uma função está dividida por outra.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as partes da nossa função que correspondem ao numerador e ao denominador. No caso, temos:
- Numerador:
- Denominador:
Passo 3
Agora, vamos derivar cada uma dessas partes separadamente. Usamos a regra básica de derivação para polinômios:
-
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 4
Agora, aplicamos a regra do quociente para derivar
. A regra diz que:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 5
Vamos simplificar o numerador:
Primeiro, expandimos cada termo:
Agora, montamos o numerador:
Passo 6
Assim, a derivada fica:
Resposta
A derivada de
é:
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Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
Calcule as seguintes derivadas:
Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo
gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se a série converge em
, então ela converge em
.
Se a série