Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se a série converge em , então ela converge em .

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se a série converge em , então ela converge em .” Aqui estamos lidando com séries de potências, que são uma parte importante do estudo de séries na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre o raio de convergência de uma série de potências.

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma série de potências da forma tem um raio de convergência , que determina para quais valores de a série converge. Se a série converge em , isso significa que está dentro do raio de convergência, ou seja, .

Passo 3

Queremos saber se a série também converge em . Para isso, verificamos se . Mas já sabemos que , então precisamos comparar com .

Passo 4

Se assumirmos que , não temos informação suficiente para afirmar que . Pode ser que esteja entre e , ou que seja maior que . Portanto, não podemos garantir que também está dentro do raio de convergência apenas sabendo que está.

Passo 5

Como não temos certeza se , não podemos concluir que a série converge em . A série pode ou não convergir nesse ponto.

Resposta

Falso. Saber que a série converge em não garante que ela converge em .

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Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
Calcule as seguintes derivadas:
(a) Se a série diverge em , então ela diverge em .
Sejam e dois vetores com módulo igual a . Em cada item, determine o módulo de considerando que o ângulo formado entre e .
(d) .