Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se a série
converge em
, então ela converge em
.
Se a série
Passo 1
Vamos analisar a afirmação: “Se a série
converge em
, então ela converge em
.” Aqui estamos lidando com séries de potências, que são uma parte importante do estudo de séries na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre o raio de convergência de uma série de potências.
Passo 2
Primeiro, sabemos que uma série de potências da forma
tem um raio de convergência
, que determina para quais valores de
a série converge. Se a série converge em
, isso significa que
está dentro do raio de convergência, ou seja,
.
Passo 3
Queremos saber se a série também converge em
. Para isso, verificamos se
. Mas já sabemos que
, então precisamos comparar
com
.
Passo 4
Se assumirmos que
, não temos informação suficiente para afirmar que
. Pode ser que
esteja entre
e
, ou que seja maior que
. Portanto, não podemos garantir que
também está dentro do raio de convergência apenas sabendo que
está.
Passo 5
Como não temos certeza se
, não podemos concluir que a série converge em
. A série pode ou não convergir nesse ponto.
Resposta
Falso. Saber que a série converge em
não garante que ela converge em
.
Exercícios relacionados
Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo
gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
Calcule as seguintes derivadas:
(a) Se a série
diverge em
, então ela diverge em
.
Sejam
e
dois vetores com módulo igual a
. Em cada item, determine o módulo de
considerando que o ângulo
formado entre
e
.
(d) .
(d)