Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se a série sum cn x^n converge em x=2, então ela converge em x=3.

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: “Se a série sum cn x^n converge em x=2, então ela converge em x=3.” Aqui estamos lidando com séries de potências, que são uma parte importante do estudo de séries na matemática. Para resolver isso, vamos precisar entender sobre o raio de convergência de uma série de potências.

Passo 2

Primeiro, sabemos que uma série de potências da forma sum cn x^n tem um raio de convergência R, que determina para quais valores de x a série converge. Se a série converge em x=2, isso significa que 2 está dentro do raio de convergência, ou seja, |2| < R.

Passo 3

Queremos saber se a série também converge em x=3. Para isso, verificamos se |3| < R. Mas já sabemos que 2 < R, então precisamos comparar 3 com R.

Passo 4

Se assumirmos que R > 2, não temos informação suficiente para afirmar que R > 3. Pode ser que R esteja entre 2 e 3, ou que seja maior que 3. Portanto, não podemos garantir que 3 também está dentro do raio de convergência apenas sabendo que 2 está.

Passo 5

Como não temos certeza se 3 < R, não podemos concluir que a série converge em x=3. A série pode ou não convergir nesse ponto.

Resposta

Falso. Saber que a série converge em x=2 não garante que ela converge em x=3.

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