Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
-
-
Passo 1
Então, vamos resolver o primeiro problema de valor inicial que você enviou:
Esse é um tipo de equação diferencial chamado Equação de Bernoulli. A gente vai precisar usar uma técnica específica para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos reconhecer a estrutura da Equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, temos:
Passo 3
Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos uma nova função
da seguinte forma:
Passo 4
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Vamos substituir
da equação original na expressão de
:
Substituindo na expressão de
:
Mas já que
, substituímos:
Passo 6
Agora temos uma equação linear para
:
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante
:
Passo 7
Multiplicamos toda a equação por
:
Isso simplifica para:
Passo 8
Integrando ambos os lados em relação a
:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 9
Lembrando que
, substituímos de volta:
Invertendo para encontrar
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Elevando ambos os lados ao quadrado:
Passo 11
Agora, vamos resolver o segundo problema de valor inicial:
Esse também parece ser uma equação diferencial que podemos simplificar e resolver passo a passo.
Passo 12
Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que
, então podemos reescrever a equação como:
Passo 13
Vamos dividir toda a equação por
:
Agora, temos uma equação que ainda é um pouco complicada, mas podemos tentar uma substituição para simplificar.
Passo 14
Vamos fazer a substituição
. Assim,
e a derivada de
em relação a
é:
Substituindo isso na equação:
Passo 15
Vamos dividir toda a equação por
:
Agora, temos uma equação linear para
:
Passo 16
Vamos rearranjar para isolar
:
Essa equação ainda é não linear, mas podemos tentar integrar ambos os lados.
Passo 17
Multiplicando ambos os lados por
:
Vamos reescrever para separar as variáveis:
Passo 18
Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:
Passo 19
Multiplicando tudo por 12 para eliminar os denominadores:
Rearranjando:
Passo 20
Usando a condição inicial
, que implica
:
Então, a equação fica:
Resposta
A solução implícita da equação diferencial com a condição inicial
é:
Simplificando:
O intervalo de validade dessa solução é onde
.
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Calcule as seguintes derivadas:
Resolva as equações:
-
. -
.
Calcule as seguintes derivadas:
Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo
gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde
e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.