Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:

Passo 1

Então, vamos resolver o primeiro problema de valor inicial que você enviou:
Esse é um tipo de equação diferencial chamado Equação de Bernoulli. A gente vai precisar usar uma técnica específica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos reconhecer a estrutura da Equação de Bernoulli. Ela tem a forma geral:
No nosso caso, temos:

Passo 3

Para resolver uma Equação de Bernoulli, fazemos uma substituição que transforma a equação em uma equação linear. Definimos uma nova função da seguinte forma:

Passo 4

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a :

Passo 5

Vamos substituir da equação original na expressão de :
Substituindo na expressão de :
Mas já que , substituímos:

Passo 6

Agora temos uma equação linear para :
Vamos resolver essa equação usando o fator integrante. Primeiro, calculamos o fator integrante :

Passo 7

Multiplicamos toda a equação por :
Isso simplifica para:

Passo 8

Integrando ambos os lados em relação a :
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 9

Lembrando que , substituímos de volta:
Invertendo para encontrar :

Passo 10

Aplicamos a condição inicial para encontrar o valor de :
Elevando ambos os lados ao quadrado:

Passo 11

Agora, vamos resolver o segundo problema de valor inicial:
Esse também parece ser uma equação diferencial que podemos simplificar e resolver passo a passo.

Passo 12

Primeiro, vamos simplificar a equação. Observe que , então podemos reescrever a equação como:

Passo 13

Vamos dividir toda a equação por :
Agora, temos uma equação que ainda é um pouco complicada, mas podemos tentar uma substituição para simplificar.

Passo 14

Vamos fazer a substituição . Assim, e a derivada de em relação a é:
Substituindo isso na equação:

Passo 15

Vamos dividir toda a equação por :
Agora, temos uma equação linear para :

Passo 16

Vamos rearranjar para isolar :
Essa equação ainda é não linear, mas podemos tentar integrar ambos os lados.

Passo 17

Multiplicando ambos os lados por :
Vamos reescrever para separar as variáveis:

Passo 18

Agora, integramos ambos os lados:
Calculando as integrais:

Passo 19

Multiplicando tudo por 12 para eliminar os denominadores:
Rearranjando:

Passo 20

Usando a condição inicial , que implica :
Então, a equação fica:

Resposta

A solução implícita da equação diferencial com a condição inicial é:
Simplificando:
O intervalo de validade dessa solução é onde .

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Calcule as seguintes derivadas:
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  • .
  • .
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Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.