Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante , onde e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.

Passo 1

Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um tanque com 100 litros de água pura onde começamos a bombear uma solução salina. A concentração de sal nessa solução varia com o tempo, seguindo a fórmula gramas por litro. A taxa de entrada e saída da solução é de 10 litros por minuto. Precisamos determinar:
a. A quantidade de sal no tanque em cada instante .
b. O instante em que a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte a. Vamos chamar de quantidade de sal no tanque em qualquer instante . A taxa de entrada de sal é dada pela concentração da solução que entra multiplicada pela taxa de fluxo de entrada:

Passo 3

A taxa de saída de sal depende da concentração de sal no tanque naquele instante. Como o volume do tanque é constante (entrada e saída na mesma taxa), a concentração de sal no tanque é gramas por litro. Portanto, a taxa de saída é:
í

Passo 4

Com isso, podemos montar a equação diferencial que descreve a variação da quantidade de sal no tanque:
í

Passo 5

Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão:

Passo 6

O fator integrante é calculado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por :

Passo 7

A parte esquerda da equação agora é a derivada do produto :
Integrando ambos os lados em relação a :

Passo 8

Calculando a integral:
Portanto:

Passo 9

Resolvendo para :

Passo 10

Aplicamos a condição inicial. No início ( ), não há sal no tanque, então :

Passo 11

Substituindo na expressão de :

Passo 12

Agora, vamos para a parte b. Queremos encontrar o instante em que a concentração de sal no tanque é de 5,5 gramas por litro. A concentração é dada por:
Substituímos na equação encontrada:

Passo 13

Dividindo ambos os lados por 3000:

Passo 14

Essa equação transcendente não possui solução analítica simples, então resolveremos numericamente. Podemos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais para encontrar o valor de .

Resposta

a. A quantidade de sal no tanque em cada instante é dada por:
b. O instante em que a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro ocorre aproximadamente em minutos.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes derivadas:
Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se a série converge em , então ela converge em .
(a) Se a série diverge em , então ela diverge em .