Suponhamos que sobre um tanque com 100 litros de água pura, começa a ser bombeada uma solução de água sal, contendo
gramas de sal por litro, a uma taxa de 10 litros por minuto. Simultaneamente, a solução passa a ser agitada e retirada do tanque na mesma taxa.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
e contado a partir do início do processo.
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
a. Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
b. Calcule em que instante a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
Passo 1
Vamos entender o que o exercício está nos pedindo. Temos um tanque com 100 litros de água pura onde começamos a bombear uma solução salina. A concentração de sal nessa solução varia com o tempo, seguindo a fórmula
gramas por litro. A taxa de entrada e saída da solução é de 10 litros por minuto. Precisamos determinar:
a. A quantidade de sal no tanque em cada instante
.
b. O instante em que a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
b. O instante em que a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de equações diferenciais aplicadas a problemas de mistura.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte a. Vamos chamar
de quantidade de sal no tanque em qualquer instante
. A taxa de entrada de sal é dada pela concentração da solução que entra multiplicada pela taxa de fluxo de entrada:
Passo 3
A taxa de saída de sal depende da concentração de sal no tanque naquele instante. Como o volume do tanque é constante (entrada e saída na mesma taxa), a concentração de sal no tanque é
gramas por litro. Portanto, a taxa de saída é:
Passo 4
Com isso, podemos montar a equação diferencial que descreve a variação da quantidade de sal no tanque:
Passo 5
Essa é uma equação diferencial linear que podemos resolver usando um fator integrante. Primeiro, reescrevemos a equação na forma padrão:
Passo 6
O fator integrante
é calculado por:
Multiplicamos toda a equação diferencial por
:
Passo 7
A parte esquerda da equação agora é a derivada do produto
:
Integrando ambos os lados em relação a
:
Passo 8
Calculando a integral:
Portanto:
Passo 9
Resolvendo para
:
Passo 10
Aplicamos a condição inicial. No início (
), não há sal no tanque, então
:
Passo 11
Substituindo
na expressão de
:
Passo 12
Agora, vamos para a parte b. Queremos encontrar o instante
em que a concentração de sal no tanque é de 5,5 gramas por litro. A concentração é dada por:
Substituímos
na equação encontrada:
Passo 13
Dividindo ambos os lados por 3000:
Passo 14
Essa equação transcendente não possui solução analítica simples, então resolveremos numericamente. Podemos usar métodos de aproximação ou ferramentas computacionais para encontrar o valor de
.
Resposta
a. A quantidade de sal no tanque em cada instante
é dada por:
b. O instante em que a concentração de sal no tanque será de 5,5 gramas por litro ocorre aproximadamente em
minutos.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes derivadas:
Resolva os problemas de valor inicial abaixo e indique o intervalo de validade da solução encontrada:
Falso (F) ou Verdadeiro (V)? Justifique.
Se a série converge em
, então ela converge em
.
Se a série
(a) Se a série
diverge em
, então ela diverge em
.