Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a derivada da função . Isso envolve conhecimentos de cálculo diferencial, especificamente derivadas de funções compostas e funções exponenciais. Para resolver, vamos usar a regra do quociente e a regra da cadeia.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como derivar uma fração de duas funções. Se temos , a derivada é dada por:
No nosso caso, e .

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que:
Aqui, , então . Assim:

Passo 4

Agora, vamos derivar . A derivada de uma função exponencial é:
Portanto:

Passo 5

Aplicando a regra do quociente:

Passo 6

Vamos simplificar essa expressão. Primeiro, note que . Podemos fatorar no numerador:

Passo 7

Simplificando ainda mais:

Resposta

A derivada da função é:

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Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto de abscissa :
Determine as abscissas dos pontos do gráfico de nos quais a reta tangente é horizontal.