Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de
no ponto de abscissa
:
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função
no ponto onde a abscissa é
. Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em determinado ponto de uma curva.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o valor de
, ou seja,
. Substituímos
por
na função:
Então, o ponto de tangência é
.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada da função
, que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto
. A derivada de
é:
Agora, substituímos
por
:
A inclinação da reta tangente é
.
Passo 4
Com a inclinação da reta tangente conhecida, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde
é a inclinação e
é o ponto de tangência. Substituindo os valores:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.
Passo 5
A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
Usando novamente a equação ponto-inclinação com a inclinação da normal:
Simplificando:
Essa é a equação da reta normal.
Resposta
As equações das retas são:
- Reta Tangente:
- Reta Normal:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas:
Determine as abscissas dos pontos do gráfico de
nos quais a reta tangente é horizontal.
Determine a derivada das seguintes funções: