Determine as equações das retas tangente e normal ao gráfico de no ponto de abscissa :

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar as equações das retas tangente e normal ao gráfico da função no ponto onde a abscissa é . Para isso, vamos precisar usar conceitos de derivadas, que nos ajudam a encontrar a inclinação das retas tangente e normal em determinado ponto de uma curva.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o valor de , ou seja, . Substituímos por na função:
Então, o ponto de tangência é .

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada da função , que nos dará a inclinação da reta tangente no ponto . A derivada de é:
Agora, substituímos por :
A inclinação da reta tangente é .

Passo 4

Com a inclinação da reta tangente conhecida, podemos usar a equação da reta na forma ponto-inclinação:
Onde é a inclinação e é o ponto de tangência. Substituindo os valores:
Simplificando:
Essa é a equação da reta tangente.

Passo 5

A reta normal é perpendicular à reta tangente. A inclinação da reta normal é o negativo do inverso da inclinação da tangente. Então:
Usando novamente a equação ponto-inclinação com a inclinação da normal:
Simplificando:
Essa é a equação da reta normal.

Resposta

As equações das retas são:
  • Reta Tangente:
  • Reta Normal:

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Determine as abscissas dos pontos do gráfico de nos quais a reta tangente é horizontal.
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