Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para calcular a derivada da função . Isso envolve conceitos de derivação de funções compostas e regra do quociente. Vamos precisar usar a regra da cadeia e as derivadas das funções trigonométricas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a diferenciação. Sabemos que , então . Assim, podemos escrever:

Passo 3

Agora, vamos identificar que temos um produto de duas funções: e . Para derivar , usamos a regra do produto, que diz:

Passo 4

Vamos calcular . Temos . Usando a regra da cadeia, derivamos da seguinte forma:
Aqui, derivamos a parte interna . A derivada de é 1 e a derivada de é .

Passo 5

Agora, vamos calcular . Temos . Novamente, aplicamos a regra da cadeia:
Aqui, derivamos que é , e multiplicamos pelo exponente 10 e reduzimos o expoente em 1.

Passo 6

Agora, vamos substituir e na fórmula da regra do produto:

Passo 7

Podemos simplificar um pouco mais, se desejarmos, mas essa é a expressão completa da derivada. Para finalizar, vamos organizar os termos:

Resposta

A derivada de é:

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Determinar as derivadas das funções a seguir:
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