Calcule as seguintes derivadas: f(x) = 4 ln(raiz(7 x^5)^(1/3))

Passo 1

Ok, vamos resolver o exercício que pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos trabalhando com derivadas e funções logarítmicas. Para resolver, vamos precisar usar as regras de derivação, como a regra da cadeia e a derivada do logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão dentro do logaritmo para facilitar a derivação. Sabemos que é o mesmo que . Então, podemos reescrever a função assim:

Passo 3

Agora, aplicamos a propriedade dos logaritmos que diz . Aplicando isso à nossa função:

Passo 4

Vamos agora expandir o logaritmo utilizando outra propriedade: . Aplicando isso:

Passo 5

Simplificamos ainda mais a expressão usando :

Passo 6

Agora, derivamos cada termo separadamente. A derivada de em relação a é zero, já que é uma constante. A derivada de é :

Resposta

A derivada da função é .

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