Resolva o problema de valor inicial:
- Para quais valores de
a solução é crescente e para quais valores de
a solução é decrescente.
- Qual o limite de
quando
tende
. O limite depende de
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o Fator Integrante. Além disso, vamos analisar como a solução se comporta dependendo do valor inicial
e determinar o limite da função
quando
tende ao infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui,
e
.
Fator Integrante: Para resolver, a gente calcula o fator integrante
que é dado por:
Vamos calcular:
Passo 3
Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto
. Então podemos escrever:
Passo 4
Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a
:
A integral à esquerda simplifica para:
Onde
é a constante de integração.
Passo 5
Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Fazendo a substituição
, temos
, ou seja,
. Então:
Passo 6
Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 7
Agora, vamos aplicar a condição inicial
:
Resolvendo para
:
Passo 8
Então, a solução geral da equação é:
Passo 9
Determinar se a solução é crescente ou decrescente:
Para saber se a função
está aumentando ou diminuindo, vamos calcular a derivada
:
Simplificando:
Sabemos que
para todo
, e
. O sinal de
depende do termo
:
-
Se
: Então , e assim . A função está decrescente. -
Se
: Então , e assim . A função está crescente. -
Se
: Então . A função é constante.
Passo 10
Determinar o limite de
quando
tende a
:
Vamos analisar o comportamento da solução:
Quando
tende a
,
tende a 0, já que a exponencial decresce muito rápido para valores positivos grandes de
.
Portanto:
Esse limite não depende de
, pois o termo envolvendo
desaparece à medida que
cresce.
Resposta
- A solução
é crescente para valores iniciais e decrescente para . - O limite de
quando tende a é , independente do valor de .
Exercícios relacionados
Verifique se a função, ou as funções dadas constituem solução da equação diferencial.
-
. -
e
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas: