Resolva o problema de valor inicial:
  • Para quais valores de a solução é crescente e para quais valores de a solução é decrescente.
  • Qual o limite de quando tende . O limite depende de ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de valor inicial que envolve uma equação diferencial:
Conteúdo da matéria: Estamos lidando com uma Equação Diferencial Linear de Primeira Ordem. Para resolver esse tipo de equação, vamos precisar usar o Fator Integrante. Além disso, vamos analisar como a solução se comporta dependendo do valor inicial e determinar o limite da função quando tende ao infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação diferencial. A equação está na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem:
Aqui, e .
Fator Integrante: Para resolver, a gente calcula o fator integrante que é dado por:
Vamos calcular:

Passo 3

Multiplicamos toda a equação diferencial pelo fator integrante:
A esquerda da equação agora é a derivada do produto . Então podemos escrever:

Passo 4

Vamos integrar ambos os lados da equação em relação a :
A integral à esquerda simplifica para:
Onde é a constante de integração.

Passo 5

Agora, vamos calcular a integral do lado direito:
Fazendo a substituição , temos , ou seja, . Então:

Passo 6

Substituindo de volta na equação:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora, vamos aplicar a condição inicial :
Resolvendo para :

Passo 8

Então, a solução geral da equação é:

Passo 9

Determinar se a solução é crescente ou decrescente:
Para saber se a função está aumentando ou diminuindo, vamos calcular a derivada :
Simplificando:
Sabemos que para todo , e . O sinal de depende do termo :
  • Se : Então , e assim . A função está decrescente.
  • Se : Então , e assim . A função está crescente.
  • Se : Então . A função é constante.

Passo 10

Determinar o limite de quando tende a :
Vamos analisar o comportamento da solução:
Quando tende a , tende a 0, já que a exponencial decresce muito rápido para valores positivos grandes de .
Portanto:
Esse limite não depende de , pois o termo envolvendo desaparece à medida que cresce.

Resposta

  • A solução é crescente para valores iniciais e decrescente para .
  • O limite de quando tende a é , independente do valor de .

Exercícios relacionados

Verifique se a função, ou as funções dadas constituem solução da equação diferencial.
  1. .
  2. e
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas: