Verifique se a função, ou as funções dadas constituem solução da equação diferencial.
  1. t^2 y'' + 5 t y' + 4 y = 0, t > 0 ; y1(t) = t^(-2), y2(t) = t^(-2) ln t.
  2. (x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0 ; y1(x) = x^2 ; y2(x) = x^3 e y3(x) = e^(-x)

Passo 1

Vamos começar pelo primeiro exercício. A equação diferencial dada é:
E as funções que precisamos verificar se são soluções são:
Aqui, estamos lidando com equações diferenciais ordinárias de segunda ordem. Para verificar se uma função é solução, precisamos calcular suas derivadas primeira e segunda, substituir na equação e ver se a igualdade é satisfeita.

Passo 2

Verificando :
Primeiro, calculamos as derivadas:

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação diferencial:
Como a expressão resultante é igual a zero, isso confirma que é de fato uma solução da equação.

Passo 4

Verificando :
Primeiro, calculamos as derivadas usando a regra do produto:

Passo 5

Substituindo , e na equação diferencial:
Simplificando:
Tudo se cancela, resultando em zero. Portanto, também é uma solução da equação diferencial.

Passo 6

Agora, vamos para o segundo exercício. A equação diferencial é:
E as funções a serem verificadas são:

Passo 7

Verificando :
Calculamos as derivadas:

Passo 8

Substituindo na equação diferencial:
Como a expressão não é igual a zero, não é solução da equação.

Passo 9

Verificando :
Calculando as derivadas:

Passo 10

Substituindo na equação diferencial:
Novamente, a expressão não é zero, logo não é solução da equação.

Passo 11

Verificando :
Calculamos as derivadas:

Passo 12

Substituindo na equação diferencial:
Como o resultado é zero, é solução da equação diferencial.

Resposta

No primeiro exercício, as funções e são soluções da equação diferencial .
No segundo exercício, apenas a função é solução da equação diferencial . As funções e não são soluções dessa equação.

Exercícios relacionados