Calcule as seguintes derivadas:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a derivada da função . Aqui a gente vai usar o conteúdo de Derivadas, mais especificamente a Regra da Cadeia que é super útil quando temos funções compostas, como é o caso aqui.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as partes da função que vamos precisar derivar. Temos uma função composta: a função tangente ( ) onde . Então, nossa função é com .

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Regra da Cadeia, que diz que a derivada de uma função composta é .
No nosso caso:

Passo 4

Vamos primeiro derivar a parte externa, que é . A derivada de em relação a é . Então, .

Passo 5

Em seguida, vamos derivar a parte interna, que é . A derivada de é e a derivada de é . Então, .

Passo 6

Agora, aplicando a Regra da Cadeia, multiplicamos a derivada da função externa pela derivada da função interna:

Resposta

A derivada da função é:

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Determine a derivada das seguintes funções:
Calcule a segunda derivada e o seu valor nos pontos indicados nos itens da questão anterior.
a) , no ponto