Calcule a segunda derivada e o seu valor nos pontos indicados nos itens da questão anterior.
a)
, no ponto
a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para calcular a segunda derivada de uma função definida pela equação
e descobrir o valor dessa segunda derivada no ponto
. A matéria envolvida aqui é o cálculo das derivadas, especificamente derivadas implícitas, já que a equação não está isolada para
. Vamos precisar usar a regra da derivada implícita para encontrar a primeira e a segunda derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da equação
em relação a
. Para fazer isso, vamos diferenciar cada termo da equação:
A derivada de
é
. Para
, usamos a regra da cadeia:
. A derivada de uma constante, como 4, é zero. Então, temos:
Passo 3
Agora, vamos resolver para
, que é a primeira derivada:
Dividindo ambos os lados por
:
Essa é a expressão da primeira derivada da função implícita.
Passo 4
Agora, vamos encontrar a segunda derivada,
. Para isso, vamos derivar novamente a primeira derivada
em relação a
:
Usamos a regra do quociente para derivar:
Sabemos que
e já temos
. Substituindo:
Passo 5
Lembrando que a equação inicial é
, podemos substituir
por 4 na expressão da segunda derivada:
Agora, vamos calcular o valor dessa segunda derivada no ponto
. Substituindo
:
Resposta
A segunda derivada da função
no ponto
é
.
Exercícios relacionados
Determine a derivada das seguintes funções:
Calcule as seguintes derivadas:
Calcule as seguintes derivadas:
Determine a derivada das seguintes funções: