Calcule a segunda derivada e o seu valor nos pontos indicados nos itens da questão anterior.
a) , no ponto

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A pergunta pede para calcular a segunda derivada de uma função definida pela equação e descobrir o valor dessa segunda derivada no ponto . A matéria envolvida aqui é o cálculo das derivadas, especificamente derivadas implícitas, já que a equação não está isolada para . Vamos precisar usar a regra da derivada implícita para encontrar a primeira e a segunda derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a primeira derivada da equação em relação a . Para fazer isso, vamos diferenciar cada termo da equação:
A derivada de é . Para , usamos a regra da cadeia: . A derivada de uma constante, como 4, é zero. Então, temos:

Passo 3

Agora, vamos resolver para , que é a primeira derivada:
Dividindo ambos os lados por :
Essa é a expressão da primeira derivada da função implícita.

Passo 4

Agora, vamos encontrar a segunda derivada, . Para isso, vamos derivar novamente a primeira derivada em relação a :
Usamos a regra do quociente para derivar:
Sabemos que e já temos . Substituindo:

Passo 5

Lembrando que a equação inicial é , podemos substituir por 4 na expressão da segunda derivada:
Agora, vamos calcular o valor dessa segunda derivada no ponto . Substituindo :

Resposta

A segunda derivada da função no ponto é .

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