Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função
. Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de quocientes de funções. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é essencial quando temos uma função escrita como o quociente de duas outras funções.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se você tem uma função
, a derivada dela,
, é dada por:
Ou seja, você deriva o numerador e o denominador separadamente e aplica essa fórmula.
Passo 3
Vamos identificar as partes da nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de
e
:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Aqui precisamos usar a Regra do Produto, porque
é o produto de duas funções:
e
.
A Regra do Produto diz que se
, então:
Aplicando isso:
Portanto:
Passo 4
Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente com os valores que encontramos:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Simplificando mais:
Resposta
A derivada da função é:
Exercícios relacionados
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$$
Res.: tal que
.
Res.:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: ,
tal que
Res.:
Mostre que
é contínua na origem.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.:
, tal que
Res.: