Calcule as seguintes derivadas:
f(x) = (x + 1) / (x ln x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de quocientes de funções. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é essencial quando temos uma função escrita como o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se você tem uma função , a derivada dela, , é dada por:
Ou seja, você deriva o numerador e o denominador separadamente e aplica essa fórmula.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Aqui precisamos usar a Regra do Produto, porque é o produto de duas funções: e .
A Regra do Produto diz que se , então:
Aplicando isso:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente com os valores que encontramos:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Simplificando mais:

Resposta

A derivada da função é:

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