Calcule as seguintes derivadas:
f(x) = (x + 1) / (x ln x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função . Estamos trabalhando com cálculo diferencial, especificamente com derivadas de quocientes de funções. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente, que é essencial quando temos uma função escrita como o quociente de duas outras funções.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a Regra do Quociente. Se você tem uma função , a derivada dela, , é dada por:
Ou seja, você deriva o numerador e o denominador separadamente e aplica essa fórmula.

Passo 3

Vamos identificar as partes da nossa função:
Agora, precisamos encontrar as derivadas de e :
  • Derivada de :
  • Derivada de :
Aqui precisamos usar a Regra do Produto, porque é o produto de duas funções: e .
A Regra do Produto diz que se , então:
Aplicando isso:
Portanto:

Passo 4

Agora, vamos aplicar a Regra do Quociente com os valores que encontramos:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Simplificando mais:

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados

Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$$
Res.: y = x * dy/dx + (dy/dx)^2 tal que y = C x + C^2 ; {x = -2 p, y = -p^2}.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: y = x dy/dx + sen(dy/dx) cos(dy/dx), y = C x + sen(C) cos(C) { x = sen^2(p) - cos^2(p) } tal que y = p - 2 p cos^2(p) + sen(p) cos(p)
Mostre que f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 é contínua na origem.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x * dy/dx + 1/(2 - dy/dx)
y = C x + 1/(2 - C), tal que {x = -1/(p-2)^{2}, y = 2(1-p)/(p-2)^{2}}