Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$$
Res.: y = x * dy/dx + (dy/dx)^2 tal que y = C x + C^2 ; {x = -2 p, y = -p^2}.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) chamada de Clairaut. Essas equações têm uma forma específica e a gente vai usar algumas técnicas para encontrar duas soluções: a geral e a singular. Pra resolver, vamos precisar saber como manipular derivadas e entender um pouquinho sobre soluções de EDOs.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
Aqui, é a derivada de y em relação a x. O objetivo é encontrar uma expressão para y em função de x que satisfaça essa equação.

Passo 3

Vamos chamar a derivada de p para simplificar a escrita:
Então, temos:
Essa é a forma geral de uma EDO de Clairaut, onde y é expresso em termos de x e p.

Passo 4

Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a x para achar uma relação entre p e x. Derivando ambos os lados:
Mas sabemos que , então substituímos:

Passo 5

Simplificando a equação:
Fatoramos :
Isso nos dá duas possibilidades: ou ou .

Passo 6

Primeira possibilidade:
Isso significa que p é uma constante, vamos chamar de C. Então, a solução geral é:
Segunda possibilidade:
Resolvendo para p:
Substituindo p na expressão original de y:
Essa é a solução singular.

Resposta

A solução geral da EDO é:
E a solução singular é:
onde p in R.

Exercícios relacionados

Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: y = x dy/dx + sen(dy/dx) cos(dy/dx), y = C x + sen(C) cos(C) { x = sen^2(p) - cos^2(p) } tal que y = p - 2 p cos^2(p) + sen(p) cos(p)
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}$$
Res.: y = x dy/dx + dy/dx Não há solução singular: obtemos somente um ponto da curva y = C(x + 1), que por sua vez é uma solução particular.
Calcule as seguintes derivadas:
f(x) = (x + 1) / (x ln x)
Mostre que f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 é contínua na origem.