Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$$
Res.:
tal que
.
Res.:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) chamada de Clairaut. Essas equações têm uma forma específica e a gente vai usar algumas técnicas para encontrar duas soluções: a geral e a singular. Pra resolver, vamos precisar saber como manipular derivadas e entender um pouquinho sobre soluções de EDOs.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a equação dada:
Aqui,
é a derivada de
em relação a
. O objetivo é encontrar uma expressão para
em função de
que satisfaça essa equação.
Passo 3
Vamos chamar a derivada
de
para simplificar a escrita:
Então, temos:
Essa é a forma geral de uma EDO de Clairaut, onde
é expresso em termos de
e
.
Passo 4
Agora, precisamos derivar essa expressão em relação a
para achar uma relação entre
e
. Derivando ambos os lados:
Mas sabemos que
, então substituímos:
Passo 5
Simplificando a equação:
Fatoramos
:
Isso nos dá duas possibilidades: ou
ou
.
Passo 6
Primeira possibilidade:
Isso significa que
é uma constante, vamos chamar de
. Então, a solução geral é:
Segunda possibilidade:
Resolvendo para
:
Substituindo
na expressão original de
:
Essa é a solução singular.
Resposta
A solução geral da EDO é:
E a solução singular é:
onde
.
Exercícios relacionados
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: ,
tal que
Res.:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}$$
Res.: Não há solução singular: obtemos somente um ponto da curva
, que por sua vez é uma solução particular.
Res.:
Calcule as seguintes derivadas:
Mostre que
é contínua na origem.