Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.:
,
tal que
Res.:
Passo 1
Vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos:
Essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo Clairaut. As EDOs de Clairaut têm a forma geral:
Para resolver, precisamos encontrar a solução geral e, se existir, a solução singular. Vamos usar técnicas específicas para EDOs de Clairaut, que envolvem derivar a equação e encontrar condições especiais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar
. Substituindo na equação original, temos:
Essa é a solução geral da EDO de Clairaut, onde
é uma constante. Portanto, podemos escrever a solução geral como:
Aqui,
é uma constante arbitrária que representa a inclinação da família de soluções.
Passo 3
Para encontrar a solução singular, precisamos derivar a equação original em relação a
. Diferenciando ambos os lados:
Simplificando:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Para que a igualdade seja válida, ou
que nos dá a solução geral, ou:
Rearranjando:
Essa é a condição para a solução singular.
Passo 4
Agora, substituímos essa condição na equação original para encontrar
:
Substituindo
:
Simplificando:
Finalizando:
Resposta
A solução geral da EDO é:
E a solução singular, sujeita à restrição
, é:
onde
.