Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: y = x dy/dx + sen(dy/dx) cos(dy/dx), y = C x + sen(C) cos(C) { x = sen^2(p) - cos^2(p) } tal que y = p - 2 p cos^2(p) + sen(p) cos(p)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos:
Essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo Clairaut. As EDOs de Clairaut têm a forma geral:
Para resolver, precisamos encontrar a solução geral e, se existir, a solução singular. Vamos usar técnicas específicas para EDOs de Clairaut, que envolvem derivar a equação e encontrar condições especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar . Substituindo na equação original, temos:
Essa é a solução geral da EDO de Clairaut, onde é uma constante. Portanto, podemos escrever a solução geral como:
Aqui, é uma constante arbitrária que representa a inclinação da família de soluções.

Passo 3

Para encontrar a solução singular, precisamos derivar a equação original em relação a . Diferenciando ambos os lados:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :
Para que a igualdade seja válida, ou que nos dá a solução geral, ou:
Rearranjando:
Essa é a condição para a solução singular.

Passo 4

Agora, substituímos essa condição na equação original para encontrar :
Substituindo :
Simplificando:
Finalizando:

Resposta

A solução geral da EDO é:
E a solução singular, sujeita à restrição , é:
onde .

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