Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\operatorname{sen}\left(\frac{d y}{d x}\right) \cos \left(\frac{d y}{d x}\right)$$
Res.: y = x dy/dx + sen(dy/dx) cos(dy/dx), y = C x + sen(C) cos(C) { x = sen^2(p) - cos^2(p) } tal que y = p - 2 p cos^2(p) + sen(p) cos(p)

Passo 1

Vamos dar uma olhada na equação diferencial que temos:
Essa é uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo Clairaut. As EDOs de Clairaut têm a forma geral:
Para resolver, precisamos encontrar a solução geral e, se existir, a solução singular. Vamos usar técnicas específicas para EDOs de Clairaut, que envolvem derivar a equação e encontrar condições especiais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar . Substituindo na equação original, temos:
Essa é a solução geral da EDO de Clairaut, onde é uma constante. Portanto, podemos escrever a solução geral como:
Aqui, é uma constante arbitrária que representa a inclinação da família de soluções.

Passo 3

Para encontrar a solução singular, precisamos derivar a equação original em relação a . Diferenciando ambos os lados:
Simplificando:
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :
Para que a igualdade seja válida, ou que nos dá a solução geral, ou:
Rearranjando:
Essa é a condição para a solução singular.

Passo 4

Agora, substituímos essa condição na equação original para encontrar :
Substituindo :
Simplificando:
Finalizando:

Resposta

A solução geral da EDO é:
E a solução singular, sujeita à restrição , é:
onde .

Exercícios relacionados

Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{d y}{d x}$$
Res.: y = x dy/dx + dy/dx Não há solução singular: obtemos somente um ponto da curva y = C(x + 1), que por sua vez é uma solução particular.
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
x \frac{d y}{d x}+x^{2} y=\left(x{2}-e{3 x^{2} / 2}\right) y^{4}$$
x dy/dx + x^2 y = (x^2 - e^(3 x^2 / 2)) y^4
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$$
Res.: y = x * dy/dx + (dy/dx)^2 tal que y = C x + C^2 ; {x = -2 p, y = -p^2}.
Calcule as seguintes derivadas:
f(x) = (x + 1) / (x ln x)