Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.:
, tal que
Res.:
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral e a solução singular de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo de Clairaut. O enunciado da EDO é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver EDOs de Clairaut, que geralmente têm a forma:
Aqui, a função
depende da derivada de
em relação a
. Nosso objetivo é encontrar a solução geral e, se existir, a solução singular dessa equação.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o trabalho. Vamos chamar
. Substituindo isso na EDO original, temos:
Agora, nossa equação fica em termos de
,
e
.
Passo 3
Para encontrar a solução geral, a gente trata
como uma constante, já que na solução geral, a derivada
pode ser considerada constante. Então, podemos reescrever a equação como:
Aqui,
é a constante de integração que representa a inclinação da família de retas solução geral.
Passo 4
Então, a solução geral da EDO de Clairaut dada é:
Essa é a família de soluções gerais parametrizadas por
.
Passo 5
Agora, vamos descobrir se existe uma solução singular. A solução singular ocorre quando eliminamos o parâmetro
das soluções gerais. Para isso, precisamos derivar a expressão geral em relação a
e igualar a zero.
Primeiro, temos:
Derivando ambos os lados em relação a
:
Isso nos dá:
Passo 6
Agora, substituímos
de volta na expressão da solução geral para encontrar
:
Simplificando:
Passo 7
Portanto, a solução singular é dada por:
Onde
representa a derivada
e está definido para todos os reais exceto
, pois no denominador temos
e não queremos divisão por zero.
Resposta
A solução geral da EDO é:
E a solução singular é:
onde
.
Exercícios relacionados
Mostre que
é contínua na origem.
Calcule as seguintes derivadas:
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
Mostre que
é contínua em qualquer p
.