Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x * dy/dx + 1/(2 - dy/dx)
y = C x + 1/(2 - C), tal que {x = -1/(p-2)^{2}, y = 2(1-p)/(p-2)^{2}}

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui. A questão pede para encontrar a solução geral e a solução singular de uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo de Clairaut. O enunciado da EDO é:
Para resolver isso, vamos precisar entender como resolver EDOs de Clairaut, que geralmente têm a forma:
Aqui, a função depende da derivada de em relação a . Nosso objetivo é encontrar a solução geral e, se existir, a solução singular dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação para facilitar o trabalho. Vamos chamar . Substituindo isso na EDO original, temos:
Agora, nossa equação fica em termos de , e .

Passo 3

Para encontrar a solução geral, a gente trata como uma constante, já que na solução geral, a derivada pode ser considerada constante. Então, podemos reescrever a equação como:
Aqui, é a constante de integração que representa a inclinação da família de retas solução geral.

Passo 4

Então, a solução geral da EDO de Clairaut dada é:
Essa é a família de soluções gerais parametrizadas por .

Passo 5

Agora, vamos descobrir se existe uma solução singular. A solução singular ocorre quando eliminamos o parâmetro das soluções gerais. Para isso, precisamos derivar a expressão geral em relação a e igualar a zero.
Primeiro, temos:
Derivando ambos os lados em relação a :
Isso nos dá:

Passo 6

Agora, substituímos de volta na expressão da solução geral para encontrar :
Simplificando:

Passo 7

Portanto, a solução singular é dada por:
Onde representa a derivada e está definido para todos os reais exceto , pois no denominador temos e não queremos divisão por zero.

Resposta

A solução geral da EDO é:
E a solução singular é:
onde .

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$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
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