Mostre que f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 é contínua na origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que ela é contínua na origem, ou seja, no ponto . Para isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto.

Passo 2

Continuidade em um ponto significa que, à medida que nos aproximamos desse ponto, o valor da função se aproxima do valor da função nesse ponto. Formalmente, é contínua em se:
Vamos calcular :
Então, precisamos mostrar que:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos observar que , e são sempre maiores ou iguais a zero. Portanto, a soma deles também será maior ou igual a zero:
Além disso, se se aproxima de , os termos , e vão se aproximar de zero.

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Para qualquer , queremos encontrar um tal que, se , então:
Podemos escolher . Assim, se , então:
Isso satisfaz a condição necessária para o limite.

Resposta

Portanto, mostramos que , o que significa que a função é contínua na origem.

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes derivadas:
f(x) = (x + 1) / (x ln x)
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$$
Res.: y = x * dy/dx + (dy/dx)^2 tal que y = C x + C^2 ; {x = -2 p, y = -p^2}.
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.: y = x * dy/dx + 1/(2 - dy/dx)
y = C x + 1/(2 - C), tal que {x = -1/(p-2)^{2}, y = 2(1-p)/(p-2)^{2}}
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$
d/y + y = x * y^(3/4)