Mostre que f(x, y, z) = x^2 + y^2 + z^2 é contínua na origem.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função e precisamos mostrar que ela é contínua na origem, ou seja, no ponto . Para isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto.

Passo 2

Continuidade em um ponto significa que, à medida que nos aproximamos desse ponto, o valor da função se aproxima do valor da função nesse ponto. Formalmente, é contínua em se:
Vamos calcular :
Então, precisamos mostrar que:

Passo 3

Para calcular esse limite, vamos observar que , e são sempre maiores ou iguais a zero. Portanto, a soma deles também será maior ou igual a zero:
Além disso, se se aproxima de , os termos , e vão se aproximar de zero.

Passo 4

Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Para qualquer , queremos encontrar um tal que, se , então:
Podemos escolher . Assim, se , então:
Isso satisfaz a condição necessária para o limite.

Resposta

Portanto, mostramos que , o que significa que a função é contínua na origem.

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