Mostre que
é contínua na origem.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos a função
e precisamos mostrar que ela é contínua na origem, ou seja, no ponto
. Para isso, vamos precisar saber o que significa uma função ser contínua em um ponto.
Passo 2
Continuidade em um ponto significa que, à medida que nos aproximamos desse ponto, o valor da função se aproxima do valor da função nesse ponto. Formalmente,
é contínua em
se:
Vamos calcular
:
Então, precisamos mostrar que:
Passo 3
Para calcular esse limite, vamos observar que
,
e
são sempre maiores ou iguais a zero. Portanto, a soma deles também será maior ou igual a zero:
Além disso, se
se aproxima de
, os termos
,
e
vão se aproximar de zero.
Passo 4
Vamos formalizar isso usando a definição de limite. Para qualquer
, queremos encontrar um
tal que, se
, então:
Podemos escolher
. Assim, se
, então:
Isso satisfaz a condição necessária para o limite.
Resposta
Portanto, mostramos que
, o que significa que a função
é contínua na origem.
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes derivadas:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\left(\frac{d y}{d x}\right)^{2}$$
Res.: tal que
.
Res.:
Obtenha a solução geral e a solução singular (se houver) de cada uma das EDOs de Clairaut a seguir, indicando as eventuais restrições ao parâmetro da solução singular.
$$
y=x \frac{d y}{d x}+\frac{1}{2-\frac{d y}{d x}}$$
Res.:
, tal que
Res.:
Determine a solução geral das equações de Bernoulli a seguir.
$$
\frac{d y}{d x}+y=x y^{3 / 4}$$