Calcule as seguintes derivadas:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função
. Aqui, estamos lidando com derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar essas regras passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Podemos pensar nessa função como uma divisão entre duas funções: o numerador
e o denominador
.
Passo 3
Vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função
, sua derivada é:
No nosso caso,
e
. Precisamos encontrar
e
.
Passo 4
Primeiro, calculemos
:
Para derivar
, usamos a Regra da Cadeia, que para
é
. Aqui,
e
.
Sabemos que
. Então:
Passo 5
Agora, vamos derivar
:
Passo 6
Agora que temos
e
, aplicamos a Regra do Quociente:
Passo 7
Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar
no numerador:
Passo 8
Essa é a forma simplificada da derivada. Se quisermos, podemos expressar em termos de seno e cosseno, mas geralmente essa forma já é suficiente para a resposta.
Resposta
A derivada da função
é: