Calcule as seguintes derivadas:
f(x) = -cotg^2(x)/x

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para calcular a derivada da função . Aqui, estamos lidando com derivadas, especificamente usando regras de derivação como a regra do quociente e a regra da cadeia. Para resolver isso, vamos precisar saber como derivar funções trigonométricas e aplicar essas regras passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função para facilitar a derivação:
Podemos pensar nessa função como uma divisão entre duas funções: o numerador e o denominador .

Passo 3

Vamos aplicar a Regra do Quociente, que diz que se temos uma função , sua derivada é:
No nosso caso, e . Precisamos encontrar e .

Passo 4

Primeiro, calculemos :
Para derivar , usamos a Regra da Cadeia, que para é . Aqui, e .
Sabemos que . Então:

Passo 5

Agora, vamos derivar :

Passo 6

Agora que temos e , aplicamos a Regra do Quociente:

Passo 7

Vamos simplificar a expressão:
Podemos fatorar no numerador:

Passo 8

Essa é a forma simplificada da derivada. Se quisermos, podemos expressar em termos de seno e cosseno, mas geralmente essa forma já é suficiente para a resposta.

Resposta

A derivada da função é:

Exercícios relacionados