Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:
T: R longrightarrow R^2, T(x)=(x, 2)

Passo 1

Então, temos uma função T: R longrightarrow R^2 definida por T(x)=(x, 2). Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma função linear e ver se a T atende às condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: Para quaisquer dois números u e v, T(u + v) = T(u) + T(v).
  2. Homogeneidade: Para qualquer número c e qualquer número u, T(c cdot u) = c cdot T(u).
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura dos vetores quando fazemos combinações lineares.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade da função T.
  • Calculando T(u + v): T(u + v) = (u + v, 2)
    - Calculando T(u) + T(v):
    T(u) + T(v) = (u, 2) + (v, 2) = (u + v, 4)
Comparando os dois resultados:
(u + v, 2) neq (u + v, 4)
Como os segundos componentes são diferentes, a propriedade da aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos conferir a homogeneidade.
  • Calculando T(c cdot u): T(c cdot u) = (c cdot u, 2)
    - Calculando c cdot T(u):
    c cdot T(u) = c cdot (u, 2) = (c cdot u, 2c)
Comparando os dois resultados:
(c cdot u, 2) neq (c cdot u, 2c)
A menos que c = 1 ou c = 0, essas duas expressões não são iguais. Portanto, a propriedade da homogeneidade não é satisfeita em geral.

Resposta

A função T(x)=(x, 2) não é linear.

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