Dentre as seguintes funções, verificar quais são lineares:

Passo 1

Então, temos uma função definida por . Nosso objetivo aqui é descobrir se essa função é linear. Para isso, vamos lembrar o que é uma função linear e ver se a atende às condições necessárias.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma função ser linear. Uma função é linear se ela satisfaz duas propriedades principais:
  1. Aditividade: Para quaisquer dois números e , .
  2. Homogeneidade: Para qualquer número e qualquer número , .
Essas propriedades garantem que a função preserve a estrutura dos vetores quando fazemos combinações lineares.

Passo 3

Vamos verificar a aditividade da função .
  • Calculando :
    - Calculando :
Comparando os dois resultados:

Como os segundos componentes são diferentes, a propriedade da aditividade não é satisfeita.

Passo 4

Agora, vamos conferir a homogeneidade.
  • Calculando :
    - Calculando :
Comparando os dois resultados:

A menos que ou , essas duas expressões não são iguais. Portanto, a propriedade da homogeneidade não é satisfeita em geral.

Resposta

A função não é linear.

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(b)