Calcule as seguintes derivadas parciais:
para
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada parcial da função
em relação a
e
. Isso envolve usar regras de derivação como a regra da cadeia. A gente vai precisar entender como derivar logaritmos e funções trigonométricas compostas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
A gente sabe que a derivada do logaritmo natural
em relação a
é
. Então, aplicando a regra da cadeia:
Passo 3
Agora, vamos derivar
em relação a
. Usamos a regra da cadeia novamente:
Simplificando:
Passo 4
Voltando à derivada parcial original:
Podemos simplificar um pouco mais usando a identidade trigonométrica
:
Passo 5
Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a
, ou seja,
.
Aplicando a regra da cadeia:
Passo 6
Derivando
em relação a
:
Simplificando:
Passo 7
Voltando à derivada parcial em relação a
:
Usando a mesma identidade trigonométrica:
Resposta
As derivadas parciais são:
e
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes derivadas parciais:
e
para
Calcule as seguintes derivadas parciais:
para
dado implicitamente por
Seja
é diferenciável em
?
Seja
Calcule .
Calcule