Calcule as seguintes derivadas parciais: partial fpartial x e partial fpartial y para f(x, y)=ln (1+cos ^2(x y^3))

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada parcial da função em relação a e . Isso envolve usar regras de derivação como a regra da cadeia. A gente vai precisar entender como derivar logaritmos e funções trigonométricas compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a partial fpartial x = 11 + cos^2(x y^3) cdot partialpartial x[cos^2(x y^3)] , ou seja, .
A gente sabe que a derivada do logaritmo natural em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar partialpartial x[cos^2(x y^3)] = 2 cos(x y^3) cdot (-sin(x y^3)) cdot partialpartial x(x y^3) em relação a = -2 cos(x y^3) sin(x y^3) cdot y^3 . Usamos a regra da cadeia novamente:
Simplificando:

Passo 4

Voltando à derivada parcial original:
partial fpartial x = 11 + cos^2(x y^3) cdot (-2 y^3 cos(x y^3) sin(x y^3))
Podemos simplificar um pouco mais usando a identidade trigonométrica partial fpartial x = - y^3 sin(2 x y^3)1 + cos^2(x y^3) :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a partial fpartial y = 11 + cos^2(x y^3) cdot partialpartial y[cos^2(x y^3)] , ou seja, .
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Derivando partialpartial y[cos^2(x y^3)] = 2 cos(x y^3) cdot (-sin(x y^3)) cdot partialpartial y(x y^3) em relação a = -2 cos(x y^3) sin(x y^3) cdot 3 x y^2 :
Simplificando:

Passo 7

Voltando à derivada parcial em relação a partial fpartial y = 11 + cos^2(x y^3) cdot (-6 x y^2 cos(x y^3) sin(x y^3)) :
partial fpartial y = -3 x y^2 sin(2 x y^3)1 + cos^2(x y^3)
Usando a mesma identidade trigonométrica:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial fpartial x = - y^3 sin(2 x y^3) 1 + cos^2(x y^3)
e
partial fpartial y = - 3 x y^2 sin(2 x y^3) 1 + cos^2(x y^3)

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