Calcule as seguintes derivadas parciais: para

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada parcial da função em relação a e . Isso envolve usar regras de derivação como a regra da cadeia. A gente vai precisar entender como derivar logaritmos e funções trigonométricas compostas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, .
A gente sabe que a derivada do logaritmo natural em relação a é . Então, aplicando a regra da cadeia:

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Usamos a regra da cadeia novamente:
Simplificando:

Passo 4

Voltando à derivada parcial original:
Podemos simplificar um pouco mais usando a identidade trigonométrica :

Passo 5

Agora, vamos encontrar a derivada parcial em relação a , ou seja, .
Aplicando a regra da cadeia:

Passo 6

Derivando em relação a :
Simplificando:

Passo 7

Voltando à derivada parcial em relação a :
Usando a mesma identidade trigonométrica:

Resposta

As derivadas parciais são:
e

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Calcule as seguintes derivadas parciais: para dado implicitamente por
Seja
é diferenciável em ?
Seja
Calcule .