Seja f(x, y)= x^3x^2+y^2, & se (x, y) neq(0,0) ; 0, & se (x, y)=(0,0)
Calcule partial fpartial x(0,0) e partial fpartial y(0,0).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis, , definida de forma diferente dependendo se o ponto é ou não. O objetivo é calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais utilizando o limite, especialmente porque a função tem um comportamento especial no ponto .

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial x(0,0) = limh to 0 f(h, 0) - f(0,0)h em relação a f(h, 0) = h^3h^2 + 0 = h^3h^2 = h no ponto partial fpartial x(0,0) = limh to 0 h - 0h = limh to 0 1 = 1 , ou seja, .
A definição da derivada parcial em relação a é:
Vamos calcular . Como e :
E sabemos que . Substituindo na fórmula do limite:

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada parcial de partial fpartial y(0,0) = limk to 0 f(0, k) - f(0,0)k em relação a f(0, k) = 0^30^2 + k^2 = 0k^2 = 0 no ponto partial fpartial y(0,0) = limk to 0 0 - 0k = limk to 0 0 = 0 , ou seja, .
A definição da derivada parcial em relação a é:
Vamos calcular . Como e :
E sabemos que . Substituindo na fórmula do limite:

Resposta

A derivada parcial de em relação a no ponto é e a derivada parcial em relação a no mesmo ponto é .

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