Seja
Calcule
.
Calcule
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício tá pedindo. A gente tem uma função de duas variáveis,
, definida de forma diferente dependendo se o ponto
é
ou não. O objetivo é calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
no ponto
. Para isso, vamos precisar entender como calcular derivadas parciais utilizando o limite, especialmente porque a função tem um comportamento especial no ponto
.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
.
A definição da derivada parcial em relação a
é:
Vamos calcular
. Como
e
:
E sabemos que
. Substituindo na fórmula do limite:
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada parcial de
em relação a
no ponto
, ou seja,
.
A definição da derivada parcial em relação a
é:
Vamos calcular
. Como
e
:
E sabemos que
. Substituindo na fórmula do limite:
Resposta
A derivada parcial de
em relação a
no ponto
é
e a derivada parcial em relação a
no mesmo ponto é
.