Calcule as seguintes derivadas parciais:
para
dado implicitamente por
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
, ou seja,
e
. A matéria envolvida aqui é derivação implícita, que é usada quando
está definida de forma implícita por uma equação, como é o caso aqui:
. Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a manipulação:
Nossa meta é encontrar
e
. Como
está definida implicitamente, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a
e depois em relação a
, tratando
como uma função de
e
.
Passo 3
Vamos começar derivando em relação a
:
Aplicando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia para
e para
, lembrando que
depende de
.
Passo 4
Agora, vamos isolar
:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:
Passo 5
Agora, vamos derivar a equação original em relação a
para encontrar
:
Aplicando as derivadas:
Novamente, usamos a regra da cadeia para
e para
.
Passo 6
Vamos isolar
:
Fatorando
:
Dividindo ambos os lados por
:
Simplificando dividindo numerador e denominador por 3:
Resposta
As derivadas parciais são:
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Calcule as seguintes derivadas parciais:
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para
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e
para
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