Calcule as seguintes derivadas parciais: para dado implicitamente por

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . A matéria envolvida aqui é derivação implícita, que é usada quando está definida de forma implícita por uma equação, como é o caso aqui: . Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a manipulação:
Nossa meta é encontrar e . Como está definida implicitamente, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e depois em relação a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a :
Aplicando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia para e para , lembrando que depende de .

Passo 4

Agora, vamos isolar :
Fatorando :
Dividindo ambos os lados por :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:

Passo 5

Agora, vamos derivar a equação original em relação a para encontrar :
Aplicando as derivadas:
Novamente, usamos a regra da cadeia para e para .

Passo 6

Vamos isolar :
Fatorando :
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

As derivadas parciais são:

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