Calcule as seguintes derivadas parciais: partial zpartial x e partial zpartial y para z dado implicitamente por x^3+y^3+z^3+6 x y z=1

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular as derivadas parciais de em relação a e , ou seja, e . A matéria envolvida aqui é derivação implícita, que é usada quando está definida de forma implícita por uma equação, como é o caso aqui: . Para resolver, vamos precisar aplicar a regra da cadeia para derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação dada para facilitar a manipulação:
x^3 + y^3 + z^3 + 6xyz = 1
Nossa meta é encontrar e . Como está definida implicitamente, vamos derivar ambos os lados da equação em relação a e depois em relação a , tratando como uma função de e .

Passo 3

Vamos começar derivando em relação a partialpartial x (x^3) + partialpartial x (y^3) + partialpartial x (z^3) + partialpartial x (6xyz) = partialpartial x (1) :
3x^2 + 0 + 3z^2 partial zpartial x + 6y z + 6x y partial zpartial x = 0
Aplicando as derivadas:
Aqui, usamos a regra da cadeia para e para , lembrando que depende de .

Passo 4

Agora, vamos isolar 3z^2 partial zpartial x + 6xy partial zpartial x = -3x^2 - 6yz :
partial zpartial x (3z^2 + 6xy) = -3x^2 - 6yz
Fatorando partial zpartial x = -3x^2 - 6yz 3z^2 + 6xy :
partial zpartial x = -x^2 - 2yz z^2 + 2xy
Dividindo ambos os lados por :
Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 3:

Passo 5

Agora, vamos derivar a equação original em relação a partialpartial y (x^3) + partialpartial y (y^3) + partialpartial y (z^3) + partialpartial y (6xyz) = partialpartial y (1) para encontrar 0 + 3y^2 + 3z^2 partial zpartial y + 6xz + 6xy partial zpartial y = 0 :
Aplicando as derivadas:
Novamente, usamos a regra da cadeia para e para .

Passo 6

Vamos isolar 3z^2 partial zpartial y + 6xy partial zpartial y = -3y^2 - 6xz :
partial zpartial y (3z^2 + 6xy) = -3y^2 - 6xz
Fatorando partial zpartial y = -3y^2 - 6xz 3z^2 + 6xy :
partial zpartial y = -y^2 - 2xz z^2 + 2xy
Dividindo ambos os lados por :
Simplificando dividindo numerador e denominador por 3:

Resposta

As derivadas parciais são:
partial zpartial x = -x^2 - 2yz z^2 + 2xy
partial zpartial y = -y^2 - 2xz z^2 + 2xy

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