Seja
é diferenciável em ?

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem uma função definida de duas maneiras diferentes: uma para quando não é e outra especificamente para o ponto . O objetivo aqui é descobrir se essa função é diferenciável em . Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e usar um pouco de cálculo de limites y derivadas parciais.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa ser diferenciável em um ponto. Uma função é diferenciável em se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Isso implica que as derivadas parciais existem e que a função é bem comportada perto desse ponto.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas parciais de em . A derivada parcial em relação a é dada por:
Substituindo na função:

Passo 4

Agora, a derivada parcial em relação a :
Substituindo na função:

Passo 5

Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero em . Mas para a função ser diferenciável, precisamos verificar se o limite que define a diferenciação é igual a zero:
Como e as derivadas parciais são zero, simplifica para:

Passo 6

Vamos avaliar esse limite. Substituindo :
Simplificando:
Para facilitar, vamos analisar se esse limite tende a zero. Observando o numerador e o denominador, percebemos que o numerador cresce mais devagar que o denominador conforme e tendem a zero, indicando que o limite é zero.

Resposta

Sim, a função é diferenciável em .

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Calcule as seguintes derivadas parciais: para
Calcule as seguintes derivadas parciais: e para
Seja
Calcule .
Seja
Mostre que é contínua em ( 0,0 ).