Seja
é diferenciável em
?
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem uma função
definida de duas maneiras diferentes: uma para quando
não é
e outra especificamente para o ponto
. O objetivo aqui é descobrir se essa função é diferenciável em
. Para isso, vamos precisar entender o que significa uma função ser diferenciável e usar um pouco de cálculo de limites y derivadas parciais.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa ser diferenciável em um ponto. Uma função
é diferenciável em
se ela pode ser aproximada por um plano tangente naquele ponto. Isso implica que as derivadas parciais existem e que a função é bem comportada perto desse ponto.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas parciais de
em
. A derivada parcial em relação a
é dada por:
Substituindo na função:
Passo 4
Agora, a derivada parcial em relação a
:
Substituindo na função:
Passo 5
Então, as derivadas parciais existem e são iguais a zero em
. Mas para a função ser diferenciável, precisamos verificar se o limite que define a diferenciação é igual a zero:
Como
e as derivadas parciais são zero, simplifica para:
Passo 6
Vamos avaliar esse limite. Substituindo
:
Simplificando:
Para facilitar, vamos analisar se esse limite tende a zero. Observando o numerador e o denominador, percebemos que o numerador cresce mais devagar que o denominador conforme
e
tendem a zero, indicando que o limite é zero.
Resposta
Sim, a função
é diferenciável em
.
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Calcule as seguintes derivadas parciais:
para
Calcule as seguintes derivadas parciais:
e
para
Seja
Calcule .
Calcule
Seja
Mostre que é contínua em ( 0,0 ).
Mostre que