Calcule as seguintes derivadas parciais: partialpartial y y sen(x y)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada parcial de em relação a . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos saber como a função muda em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
f(x, y) = y cdot sen(x y)
Queremos encontrar , ou seja, como muda quando variamos , mantendo constante.

Passo 3

Para derivar essa expressão, vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, ddy(u cdot v) = u' cdot v + u cdot v' e , então a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de u' = ddy(y) = 1 e v' = ddy(sen(x y)) = cos(x y) cdot x = x cdot cos(x y) :
  • A derivada de em relação a é:
  • A derivada de em relação a envolve a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de é . Aqui, , então:

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
partial fpartial y = u' cdot v + u cdot v'
Substituindo os valores que encontramos:
partial fpartial y = 1 cdot sen(x y) + y cdot (x cdot cos(x y))
Simplificando:
partial fpartial y = sen(x y) + x y cdot cos(x y)

Resposta

partialpartial y ( y cdot sen(x y) ) = sen(x y) + x y cdot cos(x y)

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