Calcule as seguintes derivadas parciais:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular a derivada parcial de em relação a . Isso está relacionado ao estudo de derivadas parciais, que são usadas quando temos funções de mais de uma variável e queremos saber como a função muda em relação a uma delas, mantendo as outras constantes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a função que precisamos derivar:
Queremos encontrar , ou seja, como muda quando variamos , mantendo constante.

Passo 3

Para derivar essa expressão, vamos usar a regra do produto. A regra do produto diz que se temos uma função que é o produto de duas funções, e , então a derivada é:
No nosso caso, e .

Passo 4

Agora, vamos calcular as derivadas de e :
  • A derivada de em relação a é:
  • A derivada de em relação a envolve a regra da cadeia. A regra da cadeia diz que a derivada de é . Aqui, , então:

Passo 5

Aplicando a regra do produto:
Substituindo os valores que encontramos:
Simplificando:

Resposta

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