Calcule as seguintes derivadas parciais: partialpartial x f(2,1) e partialpartial y f(2,1) para f(x, y)=x^3+x^2 y^3-2 y^2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de derivadas parciais! A gente precisa calcular as derivadas parciais de em relação a e no ponto . Para isso, vamos usar as regras de diferenciação para funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar a derivada parcial de f(x, y) = x^3 + x^2 y^3 - 2 y^2 em relação a partial fpartial x = 3x^2 + 2x y^3 , ou seja, . Isso significa que tratamos como uma constante e derivamos em relação a .
A função é:
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de é
  • A derivada de é (já que é constante)
  • A derivada de é (pois não depende de )
Então:

Passo 3

Agora, substituímos partial fpartial xg|(2,1) = 3(2)^2 + 2(2)(1)^3 = 3 times 4 + 2 times 2 times 1 = 12 + 4 = 16 e na derivada que encontramos:

Passo 4

Vamos fazer a mesma coisa para a derivada parcial em relação a partial fpartial y = 3x^2 y^2 - 4y , ou seja, . Aqui, tratamos como constante e derivamos em relação a .
Derivando cada termo em relação a :
  • A derivada de é (não depende de )
  • A derivada de é
  • A derivada de é
Então:

Passo 5

Substituímos novamente partial fpartial yg|(2,1) = 3(2)^2(1)^2 - 4(1) = 3 times 4 times 1 - 4 = 12 - 4 = 8 e na derivada que encontramos:

Resposta

As derivadas parciais no ponto partial fpartial x(2,1) = 16 são:
partial fpartial y(2,1) = 8

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