Mostre que y = H(x - x0) é solução da EDO y' = delta(x - x0), onde delta(x - x0) é o delta de Dirac e H(x - x0) a função degrau.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que mostrar que a função é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Aqui, representa a função delta de Dirac, e é a função degrau de Heaviside. Para resolver isso, precisamos entender como derivar a função degrau e como a função delta de Dirac se relaciona com essa derivada.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a função degrau de Heaviside, , é definida da seguinte forma:
Essa função representa uma “salta” de 0 para 1 no ponto .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada da função degrau de Heaviside é a função delta de Dirac. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso ocorre porque a função degrau tem uma descontinuidade no ponto , e sua derivada capta essa descontinuidade como uma “impulso” infinitamente estreito e de altura infinita, representado pela função delta de Dirac.

Passo 4

Aplicando essa derivada à nossa função , temos:
Isso mostra que a derivada de é exatamente a função delta de Dirac , conforme a EDO dada.

Resposta

Portanto, mostramos que é de fato uma solução da EDO .

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