Mostre que
é solução da EDO
, onde
é o delta de Dirac e
a função degrau.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que mostrar que a função
é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. Aqui,
representa a função delta de Dirac, e
é a função degrau de Heaviside. Para resolver isso, precisamos entender como derivar a função degrau e como a função delta de Dirac se relaciona com essa derivada.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a função degrau de Heaviside,
, é definida da seguinte forma:
Essa função representa uma “salta” de 0 para 1 no ponto
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada da função degrau de Heaviside é a função delta de Dirac. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso ocorre porque a função degrau tem uma descontinuidade no ponto
, e sua derivada capta essa descontinuidade como uma “impulso” infinitamente estreito e de altura infinita, representado pela função delta de Dirac.
Passo 4
Aplicando essa derivada à nossa função
, temos:
Isso mostra que a derivada de
é exatamente a função delta de Dirac
, conforme a EDO dada.
Resposta
Portanto, mostramos que
é de fato uma solução da EDO
.