Mostre que é solução da EDO , onde é o delta de Dirac e a função degrau.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que mostrar que a função é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por . Aqui, representa a função delta de Dirac, e é a função degrau de Heaviside. Para resolver isso, precisamos entender como derivar a função degrau e como a função delta de Dirac se relaciona com essa derivada.

Passo 2

Vamos começar lembrando que a função degrau de Heaviside, , é definida da seguinte forma:
Essa função representa uma “salta” de 0 para 1 no ponto .

Passo 3

Agora, queremos encontrar a derivada de em relação a , ou seja, . A derivada da função degrau de Heaviside é a função delta de Dirac. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso ocorre porque a função degrau tem uma descontinuidade no ponto , e sua derivada capta essa descontinuidade como uma “impulso” infinitamente estreito e de altura infinita, representado pela função delta de Dirac.

Passo 4

Aplicando essa derivada à nossa função , temos:
Isso mostra que a derivada de é exatamente a função delta de Dirac , conforme a EDO dada.

Resposta

Portanto, mostramos que é de fato uma solução da EDO .

Exercícios relacionados

Resolva a equação diferencial e sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que se .; b) Calcule a transformada de Fourier c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.
Resolva a equação diferencial , sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que ; b) Calcule as transformadas de Laplace e ; c) Mostre que iw se . d) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; e) Deduza a função de Green do problema.
Mostre que a função de Green obtida na questão o1 é solução da EDO .
Calcule as seguintes derivadas parciais: para