Mostre que
é solução da EDO
, onde
é o delta de Dirac e
a função degrau.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o enunciado está pedindo. Temos que mostrar que a função
é uma solução da Equação Diferencial Ordinária (EDO) dada por
. Aqui,
representa a função delta de Dirac, e
é a função degrau de Heaviside. Para resolver isso, precisamos entender como derivar a função degrau e como a função delta de Dirac se relaciona com essa derivada.
Passo 2
Vamos começar lembrando que a função degrau de Heaviside,
, é definida da seguinte forma:
Essa função representa uma “salta” de 0 para 1 no ponto
.
Passo 3
Agora, queremos encontrar a derivada de
em relação a
, ou seja,
. A derivada da função degrau de Heaviside é a função delta de Dirac. Matemáticamente, isso é expresso como:
Isso ocorre porque a função degrau tem uma descontinuidade no ponto
, e sua derivada capta essa descontinuidade como uma “impulso” infinitamente estreito e de altura infinita, representado pela função delta de Dirac.
Passo 4
Aplicando essa derivada à nossa função
, temos:
Isso mostra que a derivada de
é exatamente a função delta de Dirac
, conforme a EDO dada.
Resposta
Portanto, mostramos que
é de fato uma solução da EDO
.
Exercícios relacionados
Resolva a equação diferencial
e sujeita às condições:
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre quese .; b) Calcule a transformada de Fourier c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.
Resolva a equação diferencial
, sujeita às condições:
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que; b) Calcule as transformadas de Laplace e ; c) Mostre que iw se . d) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; e) Deduza a função de Green do problema.
Mostre que a função de Green obtida na questão o1 é solução da EDO
.
Calcule as seguintes derivadas parciais:
para