Mostre que a função de Green obtida na questão o1 é solução da EDO
.
Passo 1
Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função de Green obtida na questão o1 é solução da equação diferencial ordinária (EDO)
. Aqui, vamos trabalhar com funções de Green e entender como elas se comportam em relação a essa EDO.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que é uma função de Green. Em termos simples, a função de Green
para uma EDO linear é uma solução que responde a uma “força pontual” representada pela delta de Dirac
. Para a EDO
, a função de Green típica é:
onde
é a função de Heaviside, que é zero para
e um para
.
Passo 3
Agora, vamos verificar se essa função de Green satisfaz a EDO dada. Isso significa calcular a derivada de
em relação a
e somar
:
Passo 4
Calculando
:
Usando a regra do produto:
Agora, somando
:
Os termos com
se cancelam:
Como
quando
:
Resposta
Assim, mostramos que a função de Green
satisfaz a EDO
, comprovando que é uma solução válida.
Exercícios relacionados
Mostre que
é solução da EDO
, onde
é o delta de Dirac e
a função degrau.
Resolva a equação diferencial
e sujeita às condições:
-
-
Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre quese .; b) Calcule a transformada de Fourier c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.
Calcule as seguintes derivadas parciais:
para
Calcule as seguintes derivadas parciais: