Mostre que a função de Green obtida na questão o1 é solução da EDO .

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos que mostrar que a função de Green obtida na questão o1 é solução da equação diferencial ordinária (EDO) . Aqui, vamos trabalhar com funções de Green e entender como elas se comportam em relação a essa EDO.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que é uma função de Green. Em termos simples, a função de Green para uma EDO linear é uma solução que responde a uma “força pontual” representada pela delta de Dirac . Para a EDO , a função de Green típica é:
onde é a função de Heaviside, que é zero para e um para .

Passo 3

Agora, vamos verificar se essa função de Green satisfaz a EDO dada. Isso significa calcular a derivada de em relação a e somar :

Passo 4

Calculando :
Usando a regra do produto:
Agora, somando :
Os termos com se cancelam:
Como quando :

Resposta

Assim, mostramos que a função de Green satisfaz a EDO , comprovando que é uma solução válida.

Exercícios relacionados

Mostre que é solução da EDO , onde é o delta de Dirac e a função degrau.
Resolva a equação diferencial e sujeita às condições:

  1. Para chegar a solução final siga os seguintes passos: a) Mostre que se .; b) Calcule a transformada de Fourier c) Utilize os resultados anteriores para obter a forma integral da solução, justifique cada passo da solução; d) Deduza a função de Green do problema.
Calcule as seguintes derivadas parciais: para
Calcule as seguintes derivadas parciais: