Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:

Passo 1

Beleza, vamos resolver a derivada da função arco-cosseno hiperbólico, que é . Esse exercício está relacionado ao estudo de funções inversas e suas derivadas. Para resolver, vamos usar a regra da função inversa, que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função inversa sabendo a derivada da função original.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que se temos uma função , então sua derivada pode ser encontrada usando a fórmula:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função original e, depois, substituir na expressão.

Passo 3

No nosso caso, a função inversa que estamos lidando é . Vamos considerar que:
Aqui, é a função cosseno hiperbólico, que é a função original da qual é a inversa.

Passo 4

Agora, precisamos encontrar a derivada de em relação a . Sabemos que:
Então, .

Passo 5

Voltando à fórmula da derivada da função inversa:
Mas ainda temos em termos de . Precisamos expressar em termos de .

Passo 6

Sabemos que há uma identidade hiperbólica que relaciona e :
Como , podemos substituir:
Portanto:

Passo 7

Agora, substituímos na fórmula da derivada:
Prontinho! Essa é a derivada de .

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Calcule a derivada das seguintes funções, usando a regra do produto: