Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Passo 1
Beleza, vamos resolver a derivada da função arco-cosseno hiperbólico, que é
. Esse exercício está relacionado ao estudo de funções inversas e suas derivadas. Para resolver, vamos usar a regra da função inversa, que nos ajuda a encontrar a derivada de uma função inversa sabendo a derivada da função original.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que se temos uma função
, então sua derivada pode ser encontrada usando a fórmula:
Isso significa que precisamos encontrar a derivada da função original
e, depois, substituir
na expressão.
Passo 3
No nosso caso, a função inversa que estamos lidando é
. Vamos considerar que:
Aqui,
é a função cosseno hiperbólico, que é a função original da qual
é a inversa.
Passo 4
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em relação a
. Sabemos que:
Então,
.
Passo 5
Voltando à fórmula da derivada da função inversa:
Mas ainda temos
em termos de
. Precisamos expressar
em termos de
.
Passo 6
Sabemos que há uma identidade hiperbólica que relaciona
e
:
Como
, podemos substituir:
Portanto:
Passo 7
Agora, substituímos
na fórmula da derivada:
Prontinho! Essa é a derivada de
.
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Calcule a derivada das seguintes funções, usando a regra do produto: