Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
raiz(n)(x), n pertence a N

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função usando a regra da função inversa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como a regra da função inversa funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de trabalhar com ela. A raiz enésima de x pode ser escrita como uma potência:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra da função inversa para derivadas. Se a função f tem uma função inversa f^-1, então a derivada de f é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada de f, precisamos encontrar a derivada da função inversa f^-1 e depois usar esse valor na fórmula.

Passo 4

Vamos encontrar a função inversa de . Para isso, trocamos x e f(x) e resolvemos para a nova variável:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da função inversa em relação a y:

Passo 6

Aplicando a regra da função inversa, substituímos y por f(x) na derivada da função inversa:

Passo 7

Sabemos que , então substituímos na expressão:

Passo 8

Simplificando a expressão, temos:

Resposta

A derivada de é:

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