Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função usando a regra da função inversa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como a regra da função inversa funciona.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de trabalhar com ela. A raiz enésima de pode ser escrita como uma potência:

Passo 3

Agora, vamos lembrar da regra da função inversa para derivadas. Se a função tem uma função inversa , então a derivada de é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada de , precisamos encontrar a derivada da função inversa e depois usar esse valor na fórmula.

Passo 4

Vamos encontrar a função inversa de . Para isso, trocamos e e resolvemos para a nova variável:

Passo 5

Agora, vamos calcular a derivada da função inversa em relação a :

Passo 6

Aplicando a regra da função inversa, substituímos por na derivada da função inversa:

Passo 7

Sabemos que , então substituímos na expressão:

Passo 8

Simplificando a expressão, temos:

Resposta

A derivada de é:

Exercícios relacionados

Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
Use (1) e a letra (b) para mostrar que e .
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa: