Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a derivada da função
usando a regra da função inversa. Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre derivadas e como a regra da função inversa funciona.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que fique mais fácil de trabalhar com ela. A raiz enésima de
pode ser escrita como uma potência:
Passo 3
Agora, vamos lembrar da regra da função inversa para derivadas. Se a função
tem uma função inversa
, então a derivada de
é dada por:
Isso significa que para encontrar a derivada de
, precisamos encontrar a derivada da função inversa
e depois usar esse valor na fórmula.
Passo 4
Vamos encontrar a função inversa de
. Para isso, trocamos
e
e resolvemos para a nova variável:
Passo 5
Agora, vamos calcular a derivada da função inversa
em relação a
:
Passo 6
Aplicando a regra da função inversa, substituímos
por
na derivada da função inversa:
Passo 7
Sabemos que
, então substituímos na expressão:
Passo 8
Simplificando a expressão, temos:
Resposta
A derivada de
é:
Exercícios relacionados
Use as definições das funções hiperbólicas (isto é, (2) e etc.) e a letra © para calcular as derivadas de:
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
(i)
(iii)
(ii)
(iv) cossech
Use (1) e a letra (b) para mostrar que
e
.
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:
Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa: