Calcule as seguintes derivadas, usando a regra da função inversa:

Passo 1

Vamos calcular a derivada de usando a regra da função inversa. Isso envolve entender como as funções inversas se relacionam nas suas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos chamar . Isso significa que, sendo a função inversa, temos . A regra da função inversa diz que a derivada de em relação a é o inverso da derivada de em relação a .

Passo 3

Agora, vamos derivar em relação a . Sabemos que:
Essa é a derivada da função tangente hiperbólica.

Passo 4

Segundo a regra da função inversa:
Então, precisamos expressar em termos de .

Passo 5

Como , substituímos na expressão da derivada:
Isso simplifica a derivada em termos de .

Resposta

A derivada de é .

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