Calcule os seguintes determinantes:
A4 times 4=(cccc-1 & 5 & 4 & -2 3 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 3 5 & -3 & 4 & 6) Rightarrow|A|=|cccc-1 & 5 & 4 & -2 3 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 3 5 & -3 & 4 & 6|

Passo 1

Beleza! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o determinante de uma matriz . O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de expansão por cofatores, que basicamente quebra a matriz em partes menores para facilitar o cálculo.

Passo 2

Vamos começar escolhendo uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é melhor escolher uma linha ou coluna que tenha zeros para facilitar a conta. Olhando a nossa matriz:
A = -1 & 5 & 4 & -2 3 & -2 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & 3 5 & -3 & 4 & 6
Vemos que a segunda coluna tem um zero na última posição, mas não há muitos zeros. Vou escolher a segunda coluna para a expansão.

Passo 3

Agora, vamos aplicar a fórmula da expansão por cofatores na segunda coluna. A fórmula geral para o determinante |A| = a12C12 + a22C22 + a32C32 + a42C42 expandido pela segunda coluna é:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 4

Vamos identificar os elementos da segunda coluna e seus cofatores:
  • Cij = (-1)^i+j times Mij
Agora, precisamos calcular cada cofactor . O cofactor é dado por:
Onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 5

Vamos calcular cada menor complementar:
  1. Para M12 = 3 & 0 & 0 0 & 2 & 3 5 & 4 & 6 :
    • Removemos a 1ª linha e a 2ª coluna:
    M12 = 3 times 2 & 34 & 6 - 0 + 0 = 3 times (2 times 6 - 3 times 4) = 3 times (12 - 12) = 0
    Calculando C12 = (-1)^1+2 times 0 = -0 = 0 :
    M22 = -1 & 4 & -2 0 & 2 & 3 5 & 4 & 6
    Então,
    M22 = -1 times 2 & 34 & 6 - 4 times 0 & 35 & 6 + (-2) times 0 & 25 & 4
  2. Para = -1 times (2 times 6 - 3 times 4) - 4 times (0 times 6 - 3 times 5) + (-2) times (0 times 4 - 2 times 5) :
    • Removemos a 2ª linha e a 2ª coluna:
    = -1 times (12 - 12) - 4 times (0 - 15) + (-2) times (0 - 10)
    Calculando = 0 + 60 + 20 = 80 :
    C22 = (-1)^2+2 times 80 = 1 times 80 = 80
    M32 = -1 & 4 & -2 3 & 0 & 0 5 & 4 & 6
    M32 = -1 times 0 & 04 & 6 - 4 times 3 & 05 & 6 + (-2) times 3 & 05 & 4
    = -1 times (0 times 6 - 0 times 4) - 4 times (3 times 6 - 0 times 5) + (-2) times (3 times 4 - 0 times 5)
    Então,
    = -1 times 0 - 4 times 18 + (-2) times 12
  3. Para = 0 - 72 - 24 = -96 :
    • Removemos a 3ª linha e a 2ª coluna:
    C32 = (-1)^3+2 times (-96) = (-1)^5 times (-96) = -1 times (-96) = 96
    Calculando M42 = -1 & 4 & -2 3 & 0 & 0 0 & 2 & 3 :
    M42 = -1 times 0 & 02 & 3 - 4 times 3 & 00 & 3 + (-2) times 3 & 00 & 2
    = -1 times (0 times 3 - 0 times 2) - 4 times (3 times 3 - 0 times 0) + (-2) times (3 times 2 - 0 times 0)
    = -1 times 0 - 4 times 9 + (-2) times 6
    = 0 - 36 - 12 = -48
    Então,
    C42 = (-1)^4+2 times (-48) = 1 times (-48) = -48
  4. Para :
    • Removemos a 4ª linha e a 2ª coluna:
    Calculando :
    Então,

Passo 6

Agora que temos todos os cofatores, vamos substituir na fórmula da expansão:
|A| = a12C12 + a22C22 + a32C32 + a42C42
|A| = 5 times 0 + (-2) times 80 + 1 times 96 + (-3) times (-48)
|A| = 0 - 160 + 96 + 144
|A| = (-160 + 96) + 144 = (-64) + 144 = 80

Resposta

O determinante da matriz é igual a 80.

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