Beleza! Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos que calcular o determinante de uma matriz . O determinante é um número que nos dá várias informações sobre a matriz, como se ela é invertível. Para resolver isso, vamos precisar usar o método de expansão por cofatores, que basicamente quebra a matriz em partes menores para facilitar o cálculo.
Passo 2
Vamos começar escolhendo uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é melhor escolher uma linha ou coluna que tenha zeros para facilitar a conta. Olhando a nossa matriz:
Vemos que a segunda coluna tem um zero na última posição, mas não há muitos zeros. Vou escolher a segunda coluna para a expansão.
Passo 3
Agora, vamos aplicar a fórmula da expansão por cofatores na segunda coluna. A fórmula geral para o determinante |A| = a12C12 + a22C22 + a32C32 + a42C42 expandido pela segunda coluna é:
Onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.
Passo 4
Vamos identificar os elementos da segunda coluna e seus cofatores:
Cij = (-1)^i+j times Mij
Agora, precisamos calcular cada cofactor . O cofactor é dado por:
Onde é o menor complementar, ou seja, o determinante da matriz que sobra quando removemos a i-ésima linha e a j-ésima coluna.
Passo 5
Vamos calcular cada menor complementar:
Para M12 = 3 & 0 & 0 0 & 2 & 3 5 & 4 & 6 :
Removemos a 1ª linha e a 2ª coluna:
M12 = 3 times 2 & 34 & 6 - 0 + 0 = 3 times (2 times 6 - 3 times 4) = 3 times (12 - 12) = 0
Calculando C12 = (-1)^1+2 times 0 = -0 = 0 :
M22 = -1 & 4 & -2 0 & 2 & 3 5 & 4 & 6
Então,
M22 = -1 times 2 & 34 & 6 - 4 times 0 & 35 & 6 + (-2) times 0 & 25 & 4
Para = -1 times (2 times 6 - 3 times 4) - 4 times (0 times 6 - 3 times 5) + (-2) times (0 times 4 - 2 times 5) :
Removemos a 2ª linha e a 2ª coluna:
= -1 times (12 - 12) - 4 times (0 - 15) + (-2) times (0 - 10)
Calculando = 0 + 60 + 20 = 80 :
C22 = (-1)^2+2 times 80 = 1 times 80 = 80
M32 = -1 & 4 & -2 3 & 0 & 0 5 & 4 & 6
M32 = -1 times 0 & 04 & 6 - 4 times 3 & 05 & 6 + (-2) times 3 & 05 & 4
= -1 times (0 times 6 - 0 times 4) - 4 times (3 times 6 - 0 times 5) + (-2) times (3 times 4 - 0 times 5)
Então,
= -1 times 0 - 4 times 18 + (-2) times 12
Para = 0 - 72 - 24 = -96 :
Removemos a 3ª linha e a 2ª coluna:
C32 = (-1)^3+2 times (-96) = (-1)^5 times (-96) = -1 times (-96) = 96