Verifique quais das funções abaixo são transformações lineares.
a) T: R^2 R^2 em que T(x, y)=(x+y, 3 x-2 y).
b) T: R^2 R^2 em que T(x, y)=(|x|, y)
c) T: R^2 R^2 em que T(x, y)=(x+1, y).
d) T: C[0,1] R em que T(f)=f(0)+f(1)2.
e) T: M2(R) M2 times 3(R) em que T(A)=A B, em que B in M2 times 3(R) é uma matriz fixada.
f) T: P3(R) P3(R) em que T(p)=x p^prime.
g) T: F(R) F(R) em que T(f)=f(1+x).

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que pede para verificar quais das funções listadas são transformações lineares. A gente vai precisar lembrar o que é uma transformação linear e como testar se uma função satisfaz as condições para ser considerada assim. Vamos resolver passo a passo cada item!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores e , e qualquer escalar , as seguintes propriedades forem verdadeiras:
  1. Adição Vetorial:
  2. Multiplicação por Escalar:
Além disso, uma transformação linear deve satisfazer , onde é o vetor nulo.
Agora, vamos aplicar isso em cada uma das funções listadas no exercício.

Passo 3

a) T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = ((x1 + x2) + (y1 + y2), 3(x1 + x2) - 2(y1 + y2)) definida por = (x1 + y1 + x2 + y2, 3x1 -2y1 + 3x2 -2y2) = T(x1, y1) + T(x2, y2)

Vamos verificar as duas propriedades:
  1. Adição:
    T(c(x, y)) = T(cx, cy) = (cx + cy, 3(cx) - 2(cy)) = c(x + y, 3x - 2y) = cT(x, y)
  2. Multiplicação por Escalar:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a função a) é uma transformação linear.

Passo 4

b) T((x1, y1) + (x2, y2)) = T(x1 + x2, y1 + y2) = (|x1 + x2|, y1 + y2) definida por neq (|x1|, y1) + (|x2|, y2) = (|x1| + |x2|, y1 + y2) (a menos que x1 e x2 sejam ambos não negativos ou não negativos)

Vamos verificar:
  1. Adição: ããJá aqui, a propriedade de adição não é satisfeita em geral.
Portanto, a função b) não é uma transformação linear.

Passo 5

c) T(0, 0) = (0 + 1, 0) = (1, 0) neq (0, 0) definida por

Vamos verificar:
  1. Imagem do Vetor Nulo: Já falhou na primeira condição, já que .
Portanto, a função c) não é uma transformação linear.

Passo 6

d) T(f + g) = (f + g)(0) + (f + g)(1)2 = f(0) + g(0) + f(1) + g(1)2 = f(0) + f(1)2 + g(0) + g(1)2 = T(f) + T(g) definida por T(c f) = (c f)(0) + (c f)(1)2 = c f(0) + c f(1)2 = c f(0) + f(1)2 = c T(f)

Vamos verificar as propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por Escalar:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a função d) é uma transformação linear.

Passo 7

e) T(A + C) = (A + C)B = AB + CB = T(A) + T(C) definida por T(c A) = (c A)B = c (A B) = c T(A) , onde é uma matriz fixa em

Vamos verificar:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por Escalar:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a função e) é uma transformação linear.

Passo 8

f) T(p + q) = x (p + q)' = x (p' + q') = x p' + x q' = T(p) + T(q) definida por T(c p) = x (c p)' = x (c p') = c x p' = c T(p)

Vamos verificar as propriedades:
  1. Adição:
  2. Multiplicação por Escalar:
Além disso, , satisfazendo todas as condições.
Portanto, a função f) é uma transformação linear.

Passo 9

g) T(f + g) = (f + g)(1 + x) = f(1 + x) + g(1 + x) = T(f) + T(g) definida por T(c f) = (c f)(1 + x) = c f(1 + x) = c T(f)

Vamos verificar:
  1. Adição:
    T(0) = 0(1 + x) = 0
  2. Multiplicação por Escalar:
No entanto, precisamos verificar se :
Tudo parece certo, mas há um detalhe importante: a função depende da composição com . Se considerarmos que está substituindo o argumento, a transformação pode não ser linear dependendo de como está definida. Em geral, transformações que envolvem substituição de variáveis não são lineares porque não preservam a estrutura vetorial de maneira adequada.
Portanto, a função g) não é uma transformação linear.

Resposta

As funções que são transformações lineares são:
  • a)
  • d)
  • e)
  • f)

Exercícios relacionados