Verifique quais das funções abaixo são transformações lineares.
a)
em que
.
b)
em que
c)
em que
.
d)
em que
.
e)
em que
, em que
é uma matriz fixada.
f)
em que
.
g)
em que
.
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício que pede para verificar quais das funções listadas são transformações lineares. A gente vai precisar lembrar o que é uma transformação linear e como testar se uma função satisfaz as condições para ser considerada assim. Vamos resolver passo a passo cada item!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é uma transformação linear. Uma transformação
entre dois espaços vetoriais é linear se, para quaisquer vetores
e
, e qualquer escalar
, as seguintes propriedades forem verdadeiras:
- Adição Vetorial:
- Multiplicação por Escalar:
Além disso, uma transformação linear deve satisfazer
, onde
é o vetor nulo.
Agora, vamos aplicar isso em cada uma das funções listadas no exercício.
Passo 3
a)
definida por
Vamos verificar as duas propriedades:
-
Adição:
-
Multiplicação por Escalar:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a função a) é uma transformação linear.
Passo 4
b)
definida por
Vamos verificar:
- Adição:
Já aqui, a propriedade de adição não é satisfeita em geral.
Portanto, a função b) não é uma transformação linear.
Passo 5
c)
definida por
Vamos verificar:
- Imagem do Vetor Nulo:
Já falhou na primeira condição, já que .
Portanto, a função c) não é uma transformação linear.
Passo 6
d)
definida por
Vamos verificar as propriedades:
-
Adição:
-
Multiplicação por Escalar:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a função d) é uma transformação linear.
Passo 7
e)
definida por
, onde
é uma matriz fixa em
Vamos verificar:
-
Adição:
-
Multiplicação por Escalar:
Ambas as propriedades são satisfeitas, então a função e) é uma transformação linear.
Passo 8
f)
definida por
Vamos verificar as propriedades:
-
Adição:
-
Multiplicação por Escalar:
Além disso,
, satisfazendo todas as condições.
Portanto, a função f) é uma transformação linear.
Passo 9
g)
definida por
Vamos verificar:
-
Adição:
-
Multiplicação por Escalar:
No entanto, precisamos verificar se
:
Tudo parece certo, mas há um detalhe importante: a função
depende da composição com
. Se considerarmos que
está substituindo o argumento, a transformação pode não ser linear dependendo de como
está definida. Em geral, transformações que envolvem substituição de variáveis não são lineares porque não preservam a estrutura vetorial de maneira adequada.
Portanto, a função g) não é uma transformação linear.
Resposta
As funções que são transformações lineares são:
- a)
- d)
- e)
- f)